Définition 1.6.1.
Soit \(I\subseteq \R\) un intervalle. Un chemin dans \(\R^n\) est une fonction
\begin{align*}
\vr :\ \amp I \longrightarrow \R^n\\
\amp t \longmapsto \vr(t)
\end{align*}
On appelle ceci une fonction vectorielle également.
Section 1.6 Courbes paramétriques et leurs tangentes
Dans cette section et celle qui suit nous étudions les courbes paramétriques, c’est-à-dire les courbes qui sont données par des fonctions à valeurs vectorielles d’une variable réelle. Nous allons aussi étudier les tangentes à ces courbes, et les notions de vitesse et d’accélération associées à un chemin.
Sous-section Courbes et chemins
À la section 1.5 nous avons étudié les droites au moyen de leurs équations paramétriques. En effet, étant donné \(\vp_0\) et \(\vd\) fixes, on a considéré l’équation de la droite passant par \(\vp_0\) dans la direction de \(\vd\text{.}\) On peut considérer l’expression
\begin{equation*}
\vp_0 + t \vd
\end{equation*}
comme étant une fonction qui, au paramètre \(t\text{,}\) associe un vecteur.
Bien entendu, les cas les plus intéressants pour nous seront :
-
\(n=2\) et, dans ce cas, nous écrirons \(\vr(t) = x(t)\vi + y(t)\vj = \rvd{x(t)}{y(t)}\text{;}\)
-
\(n=3\) et, dans ce cas, nous écrirons \(\vr(t) = x(t)\vi + y(t)\vj + z(t)\vk = \rvt{x(t)}{y(t)}{z(t)}\text{.}\)
Il est très utile de penser qu’un chemin donne en effet la position d’un mobile, \(\vr(t)\) à l’instant \(t\text{.}\) Cette interprétation n’est pas strictement nécessaire, mais elle aide beaucoup à la compréhension des concepts.
Étant donné un chemin \(\vr\text{,}\) son image, que l’on notera \(\plan{C}_\vr\) ou \(\plan{C}\text{,}\) c’est-à-dire l’ensemble
\begin{equation*}
\plan{C}_\vr = \{ \vr(t)| t\in I\},
\end{equation*}
décrit une courbe dans \(\R^n\text{.}\) Réciproquement, on dira que le chemin \(\vr\) est un paramétrage de la courbe.
Il faut noter qu’une même courbe peut admettre plusieurs paramétrages différents, ce qui soulève des questions délicates. Pour l’instant, voyons quelques exemples.
Exemple 1.6.2. Paramétrage du cercle \(x^2+y^2=a^2\).
S’il est vrai qu’on utilise souvent \(t\) comme paramètre, il n’y a aucune raison d’utiliser la lettre \(t\) et de penser que le paramètre est le temps. Par exemple, considérons le cercle \(x^2+y^2=a^2\text{.}\) Il est naturel d’utiliser l’angle \(\theta\) de la figure ci-contre comme paramètre.
Ceci donne \(\vr(\theta) = a\cos\theta\vi +a\sin\theta\vj,\qquad
0\leqslant \theta\leqslant 2\pi. \) Il s’agit d’un paramétrage du cercle \(x^2+y^2=a^2\text{.}\)
En effet, ici, nous avons \(x(\theta) = a\cos \theta,\, y(\theta) =a\sin \theta\text{,}\) de sorte que
\begin{equation*}
x(\theta)^2 + y(\theta)^2 = (a\cos \theta)^2 + (a\sin\theta)^2 = a^2.
\end{equation*}
Ceci montre que la courbe associée à notre fonction \(\vr\) est contenue dans le cercle. De simples considérations géométriques montrent que lorsque \(\theta\) parcourt \([0,2\pi]\text{,}\) \(\vr(\theta)\) parcourt le cercle au complet.
Il faut faire preuve de prudence : savoir que \(\vr(t)\) fait partie d’une courbe ne garantit pas que, à mesure que \(t\) parcourt le domaine de \(\vr\text{,}\) le vecteur \(\vr(t)\) parcourt la courbe en entier. Par exemple, si \(t\) parcourt \(\R\text{,}\) \(\frac{2}{\pi}\arctan(t)\) parcourt l’intervalle \(]-1,1[\text{.}\) De l’équation \(x^2 + y^2 = a^2\text{,}\) on tire \(y = \pm \sqrt{a^2 - x^2}\text{.}\) Ainsi, pour tout \(t\text{,}\)
\begin{equation*}
\vr(t) = x(t)\vi + y(t)\vj
= a\frac{2}{\pi}\arctan(t)\vi +
a\sqrt{1-\frac{4}{\pi^2}\arctan^2(t)}\vj
\end{equation*}
est correctement défini et satisfait \(x(t)^2+y(t)^2=a^2\text{.}\) Mais ce chemin n’est pas un paramétrage du cercle, puisque \(y(t)\geqslant 0\text{.}\)
Exemple 1.6.3. Paramétrage de \((x-h)^2+(y-k)^2=a^2\).
On peut modifier le paramétrage de l’exemple 1.6.2 pour obtenir celui du cercle de rayon \(a\) centré à \((h,k)\text{.}\) Une façon de procéder est de refaire l’esquisse de l’exemple 1.6.2 avec le cercle translaté de sorte à avoir son centre à la bonne position.
Cette translation s’obtient en additionnant le vecteur \(h\vi + k\vj\text{.}\) Ainsi,
\begin{equation*}
\vr(\theta) = \left(h+a\cos\theta\right)\vi + \left(k+a\sin\theta\right)\vj\qquad
0\leqslant \theta\leqslant 2\pi
\end{equation*}
est un paramétrage du cercle \((x-h)^2+(y-k)^2=a^2\text{.}\)
Une seconde façon de procéder est de remarquer que l’on peut transformer l’identité \(\cos^2 t + \sin^2 t=1\) pour qu’elle devienne l’équation du cercle \((x-h)^2+(y-k)^2=a^2\text{,}\) en
-
multipliant l’identité par \(a^2\) pour obtenir \((a\cos t)^2 +(a\sin t)^2 =a^2\text{,}\) et ensuite
-
en posant \(\ a\cos t=x-h\ \) et \(\ a\sin t=y-k\text{,}\) ce qui transforme \((a\cos t)^2 +(a\sin t)^2 =a^2\) en \((x-h)^2+(y-k)^2=a^2\text{.}\)
Exemple 1.6.4. Paramétrage de \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) et de \(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\).
On peut obtenir des paramétrages des courbes \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) et \(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\) en partant de l’identité \(\cos^2 t + \sin^2 t=1\text{,}\) comme on l’a fait dans la seconde partie de l’exemple précédent.
-
Si l’on pose \(\ \cos t=\frac{x}{a}\ \) et \(\ \sin t=\frac{y}{b} \text{,}\) alors l’égalité \(\cos^2 t +\sin^2 t =1\) devient \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\text{.}\)
-
Si l’on pose \(\ \cos t= \left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{1}{3}}\text{,}\) et \(\ \sin t=\left(\frac{y}{a}\right)^{\frac{1}{3}}\text{,}\) alors \(\cos^2 t +\sin^2 t =1\) devient \(\frac{x^{2/3}}{a^{2/3}}+\frac{y^{2/3}}{a^{2/3}}=1\text{.}\)
Ainsi,
\begin{alignat*}{2}
\vr(t) &= (a\cos t)\,\vi + (b\sin t)\, \vj, \qquad &0\leqslant t\leqslant 2\pi\\
\vr(t) &= (a\cos^3 t)\,\vi + (a\sin^3 t)\, \vj &0\leqslant t\leqslant 2\pi
\end{alignat*}
sont des paramétrages des courbes \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) et \(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{.}\) Afin de voir que, si \(t\) parcourt \([0,2\pi]\text{,}\) alors \(\vr(t)\) parcourt la courbe au complet, considérons les figures ci-bas.
La courbe \(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\) est appelée une astroïde. Son équation suggère qu’elle devrait ressembler à un cercle, mais ce n’est pas évident qu’elle admette les coins. Nous aborderons ces aspects plus tard.
Exemple 1.6.5. Paramétrage de \(e^y=1+x^2\).
Une méthode simple qui peut être utilisée pour paramétrer une courbe donnée par une équation de la forme \(f(x,y)=0\) consiste à utiliser \(x\) ou \(y\) comme paramètre et à isoler pour l’autre variable. Dans cet exemple, puisqu’on peut résoudre \(e^y=1+x^2\) pour avoir \(y\) comme fonction de \(x\text{,}\) en prenant les logarithmes des deux côtés, on obtient \(y=\ln\left(1+x^2\right)\text{,}\) on utilise \(x\) comme paramètre en posant \(t=x\text{.}\) Ceci donne le paramétrage
\begin{equation*}
\vr(t) = t\,\vi + \ln(1+t^2)\,\vj \qquad -\infty\lt t\lt \infty.
\end{equation*}
Exemple 1.6.6. Nouveau paramétrage de \(x^2+y^2=a^2\).
Il est aussi fréquent qu’on puisse utiliser \(x\) ou \(y\) pour paramétrer une partie d’une courbe, mais pas toute la courbe. Un exemple simple est fourni par le cercle \(x^2+y^2=a^2\text{.}\) Pour chaque \(-a\lt x\lt a\text{,}\) il existe deux points sur le cercle dont l’abscisse est \(x\text{.}\) Ainsi, on ne peut pas utiliser \(x\) pour paramétrer le cercle au complet. La situation avec \(y\) est la même. Cependant,
\begin{alignat*}{2}
\vr(t) &= t\,\vi + \sqrt{a^2-t^2}\, \vj,\qquad &-a\lt t\lt a\\
\vr(t) &= t\,\vi -\sqrt{a^2-t^2}\, \vj\qquad &-a\lt t\lt a
\end{alignat*}
sont des paramétrages de la moitié supérieure et de la moitié inférieure du cercle, respectivement. Elles utilisent toutes les deux \(x\) comme paramètre, et
1
En réalité, les deux points \((-a,0)\) et \((a,0)\) manquent, dans les deux cas.
\begin{alignat*}{2}
\vr(t) &= \sqrt{a^2-t^2}\,\vi +t\,\vj,\qquad &-a\lt t\lt a\\
\vr(t) &= -\sqrt{a^2-t^2}\,\vi + t\, \vj \qquad &-a\lt t\lt a
\end{alignat*}
sont des paramétrages de la moitié droite et la moitié gauche du cercle respectivement. Cette fois, on utilise \(y\) comme paramètre.
Les courbes apparaissent souvent comme intersections de deux surfaces. Par exemple, l’intersection de l’ellipsoïde \(x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3}=1\) avec le paraboloïde d’équation \(z=x^2+2y^2\) est la courbe montrée dans la figure ci-contre.
Une façon de paramétrer de telles courbes est de choisir une des trois coordonnées \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) \(z\) comme paramètre et de résoudre les équations donnant les surfaces pour les deux autres coordonnées en termes du paramètre. Voyons deux exemples.
Exemple 1.6.8.
L’ensemble des points \((x,y,z)\) vérifiant
\begin{alignat*}{2}
x^3&-e^{3y} &&=0,\\
x^2&-e^{y} +z &&=0
\end{alignat*}
est une courbe. On choisit d’utiliser \(y\) comme paramètre et l’on considère
\begin{alignat*}{2}
x^3& &&=e^{3y},\\
x^2&+z &&=e^{y}
\end{alignat*}
comme un système de deux équations dont les inconnues sont \(x\) et \(z\text{,}\) en traitant \(y\) comme une constante.
On résout la première équation pour \(x\text{,}\) puis l’on remplace dans la seconde équation et l’on résout pour \(z\text{.}\)
\begin{alignat*}{4}
x^3& &&=e^{3y} &&\implies x=e^y\\
x^2&+z &&=e^{y} && &&\implies e^{2y}+z=e^y \implies z=e^y-e^{2y}
\end{alignat*}
Ainsi,
\begin{equation*}
\vr(y) = e^y\,\vi + y\,\vj + (e^y-e^{2y})\,\vk
\end{equation*}
est un paramétrage de la courbe.
L’exemple précédent était truqué de sorte que les équations étaient faciles à résoudre pour trouver \(x\) et \(z\) en fonction de \(y\text{.}\) Dans la pratique, ce n’est pas toujours facile, il peut même être impossible de le faire. Voyons un exemple un peu plus réaliste.
Exemple 1.6.10.
Considérons l’ensemble des \((x,y,z)\) vérifiant
\begin{alignat*}{1}
x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3}&=1,\\
x^2+2y^2&=z,
\end{alignat*}
qui est la courbe bleue dans la figure ci-haut. On remplace \(x^2=z-2y^2\) (de la seconde équation) dans la première, ce qui donne
\begin{equation*}
-\frac{3}{2}y^2+z+\frac{z^2}{3}=1.
\end{equation*}
Après complétion des carrés (pour \(z\)), ceci équivaut à
\begin{equation*}
-\frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{3}\Big(z+\frac{3}{2}\Big)^2 = \frac{7}{4}.
\end{equation*}
Si, par exemple, on s’intéresse aux points \((x,y,z)\) sur la courbe qui vérifient en plus \(y\geqslant 0\text{,}\) on peut résoudre pour avoir \(y\) en fonction de \(z\text{.}\)
\begin{equation*}
y=\sqrt{\frac{2}{9}\Big(z+\frac{3}{2}\Big)^2-\frac{14}{12}}
\end{equation*}
Alors, \(x^2=z-2y^2\) donne aussi \(x\) en fonction de \(z\text{.}\) Si \(x\geqslant 0\text{,}\)
\begin{align*}
x&=\sqrt{z-\frac{4}{9}\Big(z+\frac{3}{2}\Big)^2+\frac{14}{6}}\\
&=\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{4}{9}z^2-\frac{1}{3}z}.
\end{align*}
Les autres signes de \(x\) et \(y\) peuvent être obtenus avec les signes adéquats devant les racines carrées. Dans notre exemple, \((x,y,z)\) se trouve sur la courbe, c’est-à-dire qu’il vérifie les équations originelles, si et seulement si \((\pm x,\pm y, z)\) appartiennent à la courbe.
Exemple 1.6.12.
Trouver un paramétrage de la courbe intersection du cône \(z^2 = x^2+ y^2\) et du plan \(z=1+y\text{.}\)
L’intersection d’un plan avec un cône
-
Pour commencer, on peut élever au carré \(z\) de l’équation du plan et remplacer dans celle du cône, ce qui mène à\begin{equation*} (1+y)^2 = x^2 + y^2 \implies 1+2y= x^2. \end{equation*}De là, on tire \(x = \pm \sqrt{1+2y}\text{.}\) Comme \(z=1+y\text{,}\) on choisit \(y =t\) comme paramètre pour obtenir\begin{equation*} \vr(t) = \sqrt{1+2t}\, \vi + t\, \vj + (1+t)\,\vk \qquad t\in \R. \end{equation*}Il faut noter qu’on a en réalité deux paramétrages, selon le signe choisi pour la racine carrée dans l’expression de \(x\text{.}\) Chacun des deux paramétrages présente une moitié de la courbe (il s’agit en fait d’une parabole).
-
On peut choisir d’utiliser \(x = s\) comme paramètre. De notre équation \(1+2y = x^2\text{,}\) on tire \(y= \frac{1}{2}(s^2-1)\text{,}\) et l’équation du plan fournit \(z = \frac{1}{2}(s^2 + 1)\text{.}\) On a donc un autre paramétrage :\begin{equation*} \vr(s) = s\, \vi + \frac{1}{2}(s^2 -1)\, \vj + \frac{1}{2}(s^2 + 1)\, \vk \qquad t\in \R. \end{equation*}
À vous de jouer 1.6.14.
Trouvez une paramétrisation de la courbe formée par l’intersection du paraboloïde \(z = 4 x^2 + 5 y^2\) et le cylindre \(y = 5 x^2\text{.}\) Utilisez la variable \(t\) pour paramètre.
\(\mathbf r(t) = \langle t,\), \(\rangle\)
Réponse 1.
\(5tt\)
Réponse 2.
\(4tt+125t^{4}\)
Sous-section Tangentes aux courbes paramétriques
Définition 1.6.15.
Soit \(\vr : I \to \R^n\) une fonction à valeurs vectorielles, avec \(I\subseteq \R\) et \(t_0\in I\) un point intérieur de \(I\). La dérivée de \(\vr\) en \(t_0\) est
2
Ceci veut dire qu’il existe \(\e \gt 0\) tel que \(]t_0-\e, t_0+\e[\ \subseteq\ I\text{.}\)
\begin{align*}
\vr'(t_0) \amp = \diff{\vr}{t}(t_0)\\
\amp=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\vr(t_0+h)-\vr(t_0)}{h}
\end{align*}
lorsque la limite existe. En particulier, si \(\vr(t_0)=x(t_0)\,\vi + y(t_0)\,\vj+z(t_0)\,\vk\text{,}\) alors
\begin{equation*}
\vr'(t_0)=x'(t_0)\,\vi+y'(t_0)\,\vj+z'(t_0)\,\vk .
\end{equation*}
En somme, pour dériver une fonction vectorielle, on doit simplement dériver chacune de ses composantes.
On pense souvent à \(\vr(t)\) comme à la position d’une particule au temps \(t\text{.}\) Dans ce contexte, on aura que \(\vr'(t)\) est le vecteur vitesse instantané au temps \(t\) et l’on écrira souvent \(\vv(t)\) au lieu de \(\vr'(t)\text{,}\) voire \(\vv\) au lieu de \(\vr'\text{.}\)
Bien entendu, la dérivation interagit avec les opérations arithmétiques usuelles de façon évidente. Seuls le produit scalaire et le produit vectoriel demandent une attention particulière. Voyons quelques exemples.
Exemple 1.6.16.
Soit, pour \(t\in \R\text{,}\)
\begin{align*}
\va(t)&= t^2\,\vi + t^4\,\vj + t^6\,\vk, & & \vb(t)= e^{-t}\,\vi + e^{-3t}\,\vj + e^{-5t}\,\vk,\\
\g(t)&= t^2, & &s(t)= \sin t.
\end{align*}
Nous allons calculer plusieurs dérivées, utilisons donc un peu de couleur pour rendre les calculs plus lisibles. Lorsque nous ferons appel à la règle de différentiation du produit, à savoir
\begin{equation*}
\diff{}{t}\big[f(t)\,g(t)\big]
={\color{blue}{f'(t)}}\,g(t) + f(t)\,{\color{blue}{g'(t)}},
\end{equation*}
nous utiliserons la couleur bleue pour mettre en évidence les facteurs \(f'(t)\) et \(g'(t)\text{.}\)
\begin{align*}
\g(t)\,\vb(t) & = t^2e^{-t}\,\vi + t^2 e^{-3t}\,\vj + t^2 e^{-5t}\,\vk
\end{align*}
donne
\begin{align*}
\diff{}{t}\big[\g(t)\vb(t)\big]
&=\big[{\color{blue}{2t}} e^{-t}{\color{blue}{-}}t^2{\color{blue}{e^{-t}}}\big]\vi
+\big[{\color{blue}{2t}} e^{-3t}{\color{blue}{-3}}t^2{\color{blue}{e^{-3t}}}\big]\vj
+\big[{\color{blue}{2t}} e^{-5t}{\color{blue}{-5}}t^2{\color{blue}{e^{-5t}}}\big]\vk\\
&={\color{blue}{2t}}\big\{e^{-t}\,\vi + e^{-3t}\,\vj + e^{-5t}\,\vk\big\}
+ t^2{\color{blue}{\big\{-e^{-t}\,\vi -3 e^{-3t}\,\vj -5 e^{-5t}\,\vk\big\}}}\\
&={\color{blue}{\g'(t)}}\vb(t)+\g(t){\color{blue}{\vb'(t)}},
\end{align*}
et
\begin{align*}
\va(t)\cdot\vb(t) & = t^2e^{-t} + t^4 e^{-3t} + t^6 e^{-5t}
\end{align*}
donne
\begin{align*}
\diff{}{t}\big[\va(t)\cdot\vb(t)\big]
&=\big[{\color{blue}{2t}} e^{-t}{\color{blue}{-}}t^2{\color{blue}{e^{-t}}}\big]
+\big[{\color{blue}{4t^3}} e^{-3t}{\color{blue}{-3}}t^4{\color{blue}{e^{-3t}}}\big]
+\big[{\color{blue}{6t^5}} e^{-5t}{\color{blue}{-5}}t^6{\color{blue}{e^{-5t}}}\big]\\
&=\big[{\color{blue}{2t}} e^{-t}+{\color{blue}{4t^3}} e^{-3t}+{\color{blue}{6t^5}} e^{-5t}\big]
+\big[{\color{blue}{-}}t^2{\color{blue}{e^{-t}}}
{\color{blue}{-3}}t^4{\color{blue}{e^{-3t}}}
{\color{blue}{-5}}t^6{\color{blue}{e^{-5t}}}\big]\\
&={\color{blue}{\big\{2t\,\vi+4t^3\,\vj+6t^5\,\vk\big\}}}\cdot
\big\{e^{-t}\,\vi + e^{-3t}\,\vj + e^{-5t}\,\vk\big\}\\&\hskip0.5in
+\big\{t^2\,\vi + t^4\,\vj + t^6\,\vk\big\}\cdot
{\color{blue}{\big\{-e^{-t}\,\vi-3e^{-3t}\,\vj-5e^{-5t}\,\vk\big\}}}\\
&={\color{blue}{\va'(t)}}\cdot\vb(t)+\va(t)\cdot{\color{blue}{\vb'(t)}},
\end{align*}
et
\begin{align*}
\va(t)\times\vb(t)
&=\det\left[\begin{matrix}\vi & t^2 & e^{-t}\\
\vj & t^4 & e^{-3t}\\
\vk & t^6 & e^{-5t}\end{matrix}\right]\\
&=\vi\left(t^4 e^{-5t}-t^6 e^{-3t}\right)
-\vj(t^2 e^{-5t}- t^6 e^{-t})
+\vk(t^2 e^{-3t}-t^4 e^{-t})
\end{align*}
donne
\begin{align*}
&\diff{}{t}\big[\va(t)\times\vb(t)\big]\\
&=\ \vi\left(\ {\color{blue}{4t^3}} e^{-5t}\ \ -\ {\color{blue}{6t^5}} e^{-3t}\right)
\ -\ \vj(\ {\color{blue}{2t}} e^{-5t}\ -\ {\color{blue}{6t^5}} e^{-t})
+\vk(\ {\color{blue}{2t}} e^{-3t}\ -\ {\color{blue}{4t^3}} e^{-t}) \\&\hskip0.1in
+\vi\left({\color{blue}{-5}}t^4 {\color{blue}{e^{-5t}}}{\color{blue}{+3}}t^6 {\color{blue}{e^{-3t}}}\right)
-\vj({\color{blue}{-5}}t^2 {\color{blue}{e^{-5t}}}{\color{blue}{+}} t^6 {\color{blue}{e^{-t}}})
+\vk({\color{blue}{-3}}t^2 {\color{blue}{e^{-3t}}}{\color{blue}{+}}t^4 {\color{blue}{e^{-t}}})\\
&={\color{blue}{\big\{2t\,\vi+4t^3\,\vj+6t^5\,\vk\big\}}}\times
\big\{e^{-t}\,\vi + e^{-3t}\,\vj + e^{-5t}\,\vk\big\}\\&\hskip0.5in
+\big\{t^2\,\vi + t^4\,\vj + t^6\,\vk\big\}\times
{\color{blue}{\big\{-e^{-t}\,\vi-3e^{-3t}\,\vj-5e^{-5t}\,\vk\big\}}}\\
&={\color{blue}{\va'(t)}}\times\vb(t)+\va(t)\times{\color{blue}{\vb'(t)}}
\end{align*}
et
\begin{align*}
\va\left(s(t)\right)
&=(\sin t)^2\,\vi +(\sin t)^4\,\vj + (\sin t)^6\,\vk\\
\implies \diff{}{t}\big[\va\left(s(t)\right)\big]
&=2(\sin t)\cos t\,\vi +4(\sin t)^3\cos t\,\vj + 6(\sin t)^5\cos t\,\vk\\
&=\big\{2(\sin t)\,\vi +4(\sin t)^3\vj + 6(\sin t)^5\vk\big\}\cos t\\
&=\va'\left(s(t)\right)\,s'(t).
\end{align*}
Bien entendu, ces exemples sont des cas particuliers de règles générales. Le même type de calculs que précédemment fournit la preuve (de la plupart) du théorème ci-bas.
Théorème 1.6.17. Propriétés de la dérivation.
Soit \(I\subseteq\R\) un intervalle,
-
\(\va,\ \vb : I \to \R^n\) des fonctions dérivables,
-
\(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\) des constantes,
-
\(\g : I \to \R\) et \(s : J\to I\) (avec \(J\subseteq \R\) un intervalle)dérivables.
3
De sorte que la composition \(\va(s(t))\) a un sens.
Alors,
\begin{alignat*}{3}
&\text{(a)}\quad &&\diff{}{t}\big[\alpha\,\va(t)+\beta\,\vb(t)\big]
=\alpha\,\va'(t)+\beta\,\vb'(t);
&&\text{(linéarité)}\\
&\text{(b)} &&\diff{}{t}\big[\g(t)\vb(t)\big]
=\g'(t)\vb(t)+\g(t)\vb'(t);
&&\text{(mult. par scalaire)}\\
&\text{(c)} &&\diff{}{t}\big[\va(t)\cdot\vb(t)\big]
=\va'(t)\cdot\vb(t)+\va(t)\cdot\vb'(t);
&&\text{(produit scalaire)}\\
&\text{(d)} &&\diff{}{t}\big[\va(t)\times\vb(t)\big]
=\va'(t)\times\vb(t)+\va(t)\times\vb'(t);
\ \ &&\text{(produit vectoriel)}\\
&\text{(e)} &&\diff{}{t}\big[\va\left(s(t)\right)\big]
=\va'\left(s(t)\right)\,s'(t).
&&\text{(composition)}
\end{alignat*}
L’interprétation géométrique est claire. La dérivée \(\vr'(t_0)\) est la limite de \(\frac{\vr(t_0+h)-\vr(t_0)}{h}\) lorsque \(h\rightarrow 0\text{.}\) Le numérateur, \(\vr(t_0+h)-\vr(t_0)\text{,}\) est représenté par le vecteur ayant \(\vr(t_0+h)\) pour but et \(\vr(t_0)\) comme origine.
Lorsque \(h\) est très petit, ce vecteur a la direction du vecteur tangent à la courbe \(\plan{C}_{\vr}\) au point \(\vr(t_0)\text{.}\) À la limite, ce vecteur donne la direction de cette tangente. Comme, de plus, elle passe par le point correspondant à \(\vr(t_0)\text{,}\) on peut déduire aisément une équation vectorielle.
\begin{gather}
\vx(t) = \vr(t_0) + t\, \vr'(t_0)\tag{✶}
\end{gather}
Il faut noter ici que \(\vr\) et \(\vr'\) sont évaluées au point \(t=t_0\text{,}\) ce sont donc des vecteurs constants.
Exemple 1.6.18.
Soit le chemin \(\vr(t) = e^{-t}\vi + e^t \vj + (\cos t)\vk \) et \(\cC_\vr\) la courbe correspondante. Trouver une équation de la droite tangente à \(\cC_\vr\) au point correspondant \((1,1,1)\text{.}\)
Solution.
Le point \((1,1,1)\) correspond à \(t=0\text{.}\) Par ailleurs,
\begin{equation*}
\vr'(t) = -e^{-t}\,\vi + e^t\,\vj - \sin t\,\vk.
\end{equation*}
de sorte que \(\vr'(0) = -\vi + \vj\text{.}\) L’équation de la droite tangente est donc
\begin{align*}
\vx(t) &= \vr(0) + t\,\vr'(0)= \rvt{1}{1}{1} + t\rvt{-1}{1}{0} + t(-1,1,0).
\end{align*}
À vous de jouer 1.6.19.
Trouver une équation paramétrique de la tangente à la courbe
\begin{equation*}
x =
t^{3} - 1, y = t^{4} + 1, z = t^{1}
\end{equation*}
au point \((7, 17, 2)\text{.}\) Utilisez la variable \(t\) comme paramètre.
\(x =\),
\(y =\),
\(z =\)
Réponse 1.
\(7+t\cdot 3\cdot 4\)
Réponse 2.
\(17+t\cdot 4\cdot 8\)
Réponse 3.
\(2+t\cdot 1\cdot 1\)
Définition 1.6.20.
Soit \(\vr : I \to \R\) un chemin et \(t_0\) un point intérieur de \(I\text{.}\)
-
Si \(\vr(t_0) \ne \vZero\text{,}\) le vecteur tangent unitaire en \(\vr(t_0)\) est \(\vT(t_0) = \frac{1}{\norm{\vr'(t_0)}}\vr'(t_0)\text{.}\)
-
Le chemin tangent à \(\vr\) en \(t_0\) est le chemin \(\vL(t) = \vr(t_0) + (t-t_0)\vr'(t_0)\text{.}\)
Exemple 1.6.21. L’astroïde (en détail).
Nous avons vu, à l’exemple 1.6.4, un paramétrage de l’astroïde d’équation \(x^{2/3}+y^{2/3} = a^{2/3}
\text{.}\) Nous avons un paramétrage
4
Ne pas confondre astroïde et astéroïde, bien que les deux mots aient comme origine commune le mot grec pour étoile.
\begin{equation*}
\vr(t) = a\cos^3t\,\vi + a\sin^3 t\,\vj.
\end{equation*}
Afin d’utiliser le théorème 1.7.1, calculons :
\begin{align*}
\vr(t) &= a\cos^3t\,\vi + a\sin^3 t\,\vj,\\
\vr'(t) &= -3a\sin t\cos^2t\,\vi + 3a\sin^2 t\cos t\,\vj,\\
\diff{s}{t}(t)&=\norm{\vr'(t)}
= \sqrt{9a^2\sin^2t\cos^4t + 9a^2\sin^4t\cos^2t}\\
& = 3a \sqrt{\sin^2t\cos^2t(\cos^2t+\sin^2t)}\\
&=3a\big|\sin t\cos t\big|,\\
\vT(t) &= \frac{\vr'(t)}{\norm{\vr'(t)}}
= \frac{\sin t\cos t}{|\sin t\cos t|}\ \left(-\cos t\,\vi+\sin t\,\vj\right)\\
&= \sgn\!\left(\!\sin t\cos t\right)\ \left(-\cos t\,\vi+\sin t\,\vj\right).
\end{align*}
Ici, \(\sgn\!\left(\!\sin t\cos t\right)\) dénote « le signe de \(\sin t\cos t\) », c’est-à-dire \(+1\) lorsque \(\sin t\cos t \gt 0\) et \(-1\) lorsque \(\sin t\cos t \lt 0\text{.}\) Ainsi,
\begin{align*}
\vT(t) &=\begin{cases}-\cos t\, \vi +\sin t \, \vj &\text{si } 0 \lt t \lt \frac{\pi}{2} \text{ ou } \pi \lt t \lt \frac{3\pi}{2}\\
\cos t \,\vi -\sin t\, \vj&\text{si } \frac{\pi}{2} \lt t \lt \pi
\text{ ou } \frac{3\pi}{2} \lt t \lt 2\pi
\end{cases}.
\end{align*}
Avant de faire une esquisse, faisons quelques remarques qui vont nous simplifier la tâche. Pour commencer, \(\vr(0) = \vr(2\pi) \text{,}\) de sorte qu’il s’agit d’une courbe fermée. Puis,
-
Les signes des composantes de \(\vr(t)\) sont les signes des composantes de \(\cos t\,\vi +\sin t\,\vj\text{,}\) ce qui nous donne une idée du quadrant dans lequel \(\vr(t)\) se trouve, et les signes des composantes de \(\vr'(t)\) sont les signes des composantes de \(-\sin t\,\vi +\cos t\,\vj\text{,}\) ce qui nous donne une idée de comment les composantes varient. Ainsi, l’astroïde est une courbe fermée et, en plus,
-
lorsque \(0\leqslant t\leqslant \frac{\pi}{2}\text{,}\) \(\vr(t)\) se trouve dans le premier quadrant et se déplace vers le haut et la gauche lorsque \(t\) croît;
-
lorsque \(\frac{\pi}{2}\leqslant t\leqslant \pi\text{,}\) \(\vr(t)\) se trouve dans le deuxième quadrant et se déplace vers le bas et la gauche lorsque \(t\) croît;
-
lorsque \(\pi\leqslant t\leqslant \frac{3\pi}{2}\text{,}\) \(\vr(t)\) se trouve au troisième quadrant et se déplace vers le bas et la droite lorsque \(t\) croît; et
-
lorsque \(\frac{3\pi}{2}\leqslant t\leqslant 2\pi\text{,}\) \(\vr(t)\) se trouve dans le quatrième quadrant et se déplace vers le haut et la droite lorsque \(t\) croît.
-
Ainsi, la courbe fait le tour de l’origine exactement une fois lorsque \(t\) varie de \(0\) à \(2\pi\text{.}\)
-
-
Quelque chose de particulier arrive lorsque \(\sin t\cos t\) s’annule en changeant de signe, c’est-à-dire lorsque \(t=0\text{,}\) \(\frac{\pi}{2}\text{,}\) \(\pi\text{,}\) \(\frac{3\pi}{2}\text{,}\) etc. En effet, \(\vT(t)\) change de direction abruptement. Plus précisément,\begin{align*} \lim_{t\rightarrow 0-}\vT(t) &= \lim_{t\rightarrow 0-} \sgn\!\left(\!\sin t\cos t\right)\\ \amp = \lim_{t\rightarrow 0-} \left(-\cos t\,\vi+\sin t\,\vj\right) =\vi,\\ \lim_{t\rightarrow 0+}\vT(t) &= \lim_{t\rightarrow 0+}\sgn\!\left(\!\sin t\cos t\right)\\ \amp =\lim_{t\rightarrow 0+}\left(-\cos t\,\vi+\sin t\,\vj\right) =-\vi \end{align*}et\begin{align*} \lim_{t\rightarrow \pi/2-}\vT(t) &= \lim_{t\rightarrow \pi/2-}\sgn\!\left(\!\sin t\cos t\right)\\ \amp =\lim_{t\rightarrow \pi/2-}\left(-\cos t\,\vi+\sin t\,\vj\right) =\vj,\\ \lim_{t\rightarrow \pi/2+}\vT(t) &= \lim_{t\rightarrow \pi/2+}\sgn\!\left(\!\sin t\cos t\right)\\ \amp = \lim_{t\rightarrow \pi/2+}\left(-\cos t\,\vi+\sin t\,\vj\right) =-\vj, \end{align*}et ainsi de suite. Ceci trahit la présence de points de rebroussement dans la courbe pour \(t=0\text{,}\) c’est-à-dire à \(\vr(0) = a\vi\) et à \(t=\frac{\pi}{2}\text{,}\) c’est-à-dire à \(\vr(\frac{\pi}{2}) = a\vj\text{,}\) et ainsi de suite. En somme, s’il est vrai que l’astroïde ressemble à un cercle, elle possède des points de rebroussement à \(\pm a\vi\) et à \(\pm a\vj\text{.}\) Voici une figure.
Figure 1.6.22. L’astroïde
Observation 1.6.23.
-
Nous allons souvent écrire \(\vr'\) ou \(\vT\) afin d’alléger les notations. Nous devrons avoir à l’esprit qu’il s’agit de fonctions vectorielles, donc qu’il y a un point d’évaluation qui devra être déduit du contexte.
-
S’il est vrai que l’équation (✶) fournit un paramétrage de la droite tangente à la courbe \(\plan{C}_\vr\) au point \(\vr(t_0)\text{,}\) le chemin tangent est une fonction vectorielle, et elle donne aussi un paramétrage de la droite tangente. De plus, \(\vL\) coïncide avec \(\vr\) jusqu’au premier ordre, c’est-à-dire \(\vL(t_0) = \vr(t_0)\) et \(\vL'(t_0) = \vr'(t_0)\text{.}\) On remarquera aussi la ressemblance de la définition de \(\vL\) avec la formule donnant l’approximation linéaire d’une fonction \(f\) en un point \(t_0\text{,}\) à savoir\begin{equation*} f(t) \approx L(t) = f(t_0) + f'(t_0)(t-t_0). \end{equation*}
Exemple 1.6.24. \(\vr'(t)=\vZero\).
Nous avons vu dans l’exemple précédent que l’astroïde a des points de rebroussement lorsque \(\vr'(t)\) s’annule. Cet exemple montre qu’il peut pratiquement tout arriver lorsque \(\vr'(t)=\vZero\text{.}\)
Supposons que nous nous promenons, et la position au temps \(t\) est donnée par \(\vr(t)\text{.}\) Si, à un instant donné, la vitesse est non nulle, il est difficile de changer de direction de déplacement de façon discontinue. D’autre part, lorsque \(\vr'(t)=0\text{,}\) on ne bouge pas, et il est facile d’effectuer un changement de direction. On peut par exemple rebrousser chemin, faire un virage brusque ou ne pas changer de direction du tout. Voici quelques exemples. Dans tous les cas, on a \(\vr'(0)=0\text{.}\)
5
Pour que la vitesse change de façon discontinue, l’accélération doit être infinie.
\begin{alignat*}{4}
\vr_1(t) &= t^5\,\vi + t^2\,\vj &
\vr_1'(t)&= 5t^4\, \vi + 2t\, \vj\\
\vr_2(t) &= \begin{cases} t^2\,\vi & \text{si } t\geqslant 0 \\
t^2\,\vj & \text{si } t\leqslant 0
\end{cases}\qquad &
\vr_2'(t)&= \begin{cases} 2t\, \vi & \text{si } t\geqslant 0 \\
2t\vj & \text{si } t\leqslant 0
\end{cases}\\
\vr_3(t) &= t^3\,\vi &
\vr_3'(t) &= 3t^2\,\vi
\end{alignat*}
Exemple 1.6.25.
-
Soit \(\vr(t) = t^3\, \vi + t^2\, \vj\text{.}\) La courbe associée a pour équation cartésienne \(x^2 = y^3\text{.}\)On a \(\vr'(t) = 3t^2 \, \vi + 2t\, \vj\text{.}\) En particulier, le point \((0,0)\) correspond à \(t=0\text{,}\) et \(\vr'(0) = \vZero\text{.}\) La courbe admet un point de rebroussement en ce point, c’est-à-dire que le vecteur tangent unitaire change subitement de direction.
La courbe admet un point de rebroussement à l’origineFigure 1.6.26. La courbe \(\vr(t) = t^3 \vi + t^2\vj\) -
Soit \(\vr(t) = e^{-t}\, \cos t\, \vi + e^{-t}\, \sin t\, \vj + e^{-t}\, \vk\text{.}\) Trouvons la droite tangente à la courbe de \(\vr\) au point \(P_0(1,0,1)\text{.}\)Le point \(P_0\) correspond à la valeur \(t=0\text{.}\) Par ailleurs,\begin{equation*} \vr'(t) = e^{-t} \ctvec{-\cos t - \sin t}{\cos t - \sin t}{-1}. \end{equation*}de sorte que \(\vr'(0) = -\vi + \vj - \vk\text{.}\) Ainsi, on a un paramétrage de tangente\begin{equation*} \vx(t) = \vp_0 + t \vr'(0) = \rvt{1}{0}{1} + t \rvt{-1}{1}{-1}. \end{equation*}Notons que, puisque \(t_0 = 0\text{,}\) ceci est aussi le chemin tangent à \(\vr\) en \(t_0\text{.}\)
Exemple 1.6.27.
Montrer que si \(\vr\) est un chemin de norme constante, alors \(\vr\) et \(\vr'\) sont toujours orthogonaux.
Solution.
Soit \(\vr\) un chemin tel que \(\norm{\vr} = c\text{.}\) Nous avons alors
\begin{align*}
\norm{\vr}^2 = c^2 \amp \iff \vr \cdot \vr = c^2\\
\amp\implies (\vr \cdot \vr)' = 0 \\
\amp \iff 2 \vr \cdot \vr' =0,
\end{align*}
et la conclusion suit.
À vous de jouer 1.6.28.
Dans cette question les composantes des vecteurs sont indiquées avec les symboles \(\mathbf{u} = \langle u_1,u_2,u_3\rangle\text{.}\)
Trouver la dérivée de la fonction donnée :
\(\mathbf r(t) = t\mathbf a \times (\mathbf b + t\mathbf c)\text{,}\) avec
\(\mathbf a = \langle 1, -3, 1\rangle\text{,}\) \(\mathbf b = \langle -2, 2, 4\rangle\text{,}\) et \(\mathbf c = \langle 1, -4, -4\rangle\text{.}\)
\(\mathbf r'(t) = \langle\) , , \(\rangle\)
Réponse 1.
\(-14+2t\cdot 16\)
Réponse 2.
\(-6+2t\cdot 5\)
Réponse 3.
\(-4+2t\mathopen{}\left(-1\right)\)
Exemple 1.6.29. L’angle formé par deux courbes.
En quels points les courbes données par \(\vr_1(t) = t\, \vi + (1-t)\, \vj + (3+t^2)\, \vk\) et par \(\vr_2 (t) = (3-t)\,\vi + (2-t)\,\vj + t^2 \, \vk\) se coupent-elles? Quel angle forment-elles au point d’intersection?
Solution.
S’il est vrai que le paramètre \(t\) est utilisé dans la définition des deux courbes, afin de trouver le point commun, on doit résoudre l’équation \(\vr_1(t) = \vr_2(s)\text{.}\) En effet, la valeur du paramètre au point commun n’a aucune raison d’être la même pour les deux courbes. Le système d’équations résultant est
6
De façon imagée, on pense aux deux courbes comme aux trajectoires décrites par deux particules. Le point commun aux deux trajectoires n’est pas nécessairement un point de collision : les deux particules passent par un même point, mais pas nécessairement au même moment. L’équation \(\vr_1(t) = \vr_2(t)\) cherche à trouver un point de collision.
\begin{align*}
t\amp = 3-s, \\
1-t \amp = 2-s, \\
3+t^2 \amp = s^2.
\end{align*}
On remplace \(t=3-s\) de la première équation dans la deuxième pour obtenir \(1-(3-s) = 2-s\text{,}\) ce qui donne \(s=2\text{,}\) et donc \(t=1\text{.}\) Ces deux valeurs sont des solutions pour la troisième équation également. Ainsi, le point commun est celui qui correspond à
\begin{equation*}
\vr_1(1) = \vr_2(2) = \tvect{1}{0}{4}.
\end{equation*}
L’angle formé par les courbes est l’angle formé par leurs tangentes respectives au point commun. Les vecteurs vitesse respectifs sont
\begin{align*}
\vr_1'(t) = \tvect{1}{-1}{2t} \amp \amp \text{ et } \amp \amp \vr_2'(s) = \tvect{-1}{-1}{2s}. \\
\amp
\end{align*}
Au point commun, ces vecteurs sont
\begin{align*}
\vr_1'(1) = \tvect{1}{-1}{2} \amp \amp \text{ et } \amp \amp \vr_2'(2) = \tvect{-1}{-1}{4}. \\
\amp
\end{align*}
L’angle \(\theta \) qu’ils forment se calcule au moyen du théorème 1.3.9. On a donc
\begin{equation*}
\cos \theta = \frac{\vr_1'(1) \cdot \vr_2'(2)}{\norm{\vr_1'(1)}\, \norm{\vr_2'(2)}} = \frac{8}{\sqrt{6}\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{3}}.
\end{equation*}
Exercices Exercices
Les Exercice 1 à Exercice 8 fournissent une pratique sur la paramétrisation des courbes. Être à l’aise avec l’algèbre et l’interprétation de ces descriptions sont des ingrédients essentiels afin de travailler efficacement avec les paramétrisations.
Pour se pratiquer.
1.
Considérez la courbe paramétrée par le temps \(\vr(t)=\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right)\vi + (t-5)^2\vj\text{.}\)
Faire une liste des trois points \((-1/\sqrt{2},0)\text{,}\) \((1,25)\text{,}\) et \((0,25)\) en ordre chronologique.
Réponse.
\((1,25)\text{,}\) \((-1/\sqrt2,0)\text{,}\) \((0,25)\text{.}\)
2.
Trouvez la vitesse (scalaire) d’une particule dont la position est donnée par \(\vr(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\vi + e^{5t}\,\vj - e^{-5t}\,\vk\text{.}\) Sélectionnez la bonne réponse:
-
\(\displaystyle \norm{\vv(t)} = \left(e^{5t} + e^{-5t}\right)\)
-
\(\displaystyle \norm{\vv(t)} = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}}\)
-
\(\displaystyle \norm{\vv(t)} = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}}\)
-
\(\displaystyle \norm{\vv(t)} = 5\left(e^{5t} + e^{-5t}\right)\)
-
\(\displaystyle \norm{\vv(t)} = 5\left(e^t + e^{-t}\right)\)
Réponse.
(d)
3.
-
Soit \(\vr(t) = t^2\,\vi + 3\,\vj + \tfrac{1}{3} t^3\,\vk \text{.}\) Trouver le vecteur tangent unitaire (pointant dans la direction des \(t\) croissants) à \(t = 1\text{.}\)
-
Trouver la longueur d’arc de la courbe en (a) entre les points \((0, 3, 0)\) et \((1, 3, -\frac{1}{3})\text{.}\)
Réponse.
(a) \(\hat\vT(1) = \frac{2\,\vi+\vk}{\sqrt{5}}\)
(b) \(\frac{1}{3}\big[5^{3/2}-8\big]\)
4.
En utilisant le Théorème 1.7.1, trouver la longueur de la portion de la courbe donnée par \(\vr(t)=t\,\vi+\sqrt{\tfrac{3}{2}}t^2\,\vj+t^3\,\vk\) entre \(t=0\) et \(t=1\text{.}\)
Réponse.
2
5.
La position d’une particule au temps \(t\) est donnée par \(\vr(t) = (t+\sin t)\,\vi + \cos t\,\vj\) (la courbe tracée par cette particule est une cycloïde). Quelle est la norme de l’accélération au temps \(t\text{?}\)
Réponse.
1
Pour mieux comprendre.
6.
Soit \(a\in \R \text{.}\) Le folium de Descartes est la courbe d’équation \(x^3 + y^3 = 3axy\text{,}\) voir la figure ci-contre. Soit \(\cD\) la droite \(x=1\text{.}\) Les questions qui suivent serviront à obtenir un paramétrage du folium par pojection de cette courbe sur \(\cD\text{.}\)
-
Donnez une équation paramétrique de \(\cD\text{.}\)
-
Pour un point \((1,t)\in \cD\text{,}\) trouvez le point commun au folium et la droite qui passe par l’origine et \((1,t)\text{.}\) Déduisez un paramétrage du folium.
-
Utilisez ce qui précède pour trouver les points où le folium admet des tangentes horizontales ou verticales.
Le folium de Descartes.
Réponse.
-
\(\vr(t) = \vi + t\vj\) avec \(t\in \R\setminus\{-1\}\text{.}\)
-
\(\displaystyle \vr(t) = \frac{3at}{1+t^3}\vi + \frac{3at^2}{1+t^3}\vj\)
-
En plus de l’origine, tangente verticale \(x = 2^{2/3}\) et tangente horizontale \(y=2^{2/3}\text{.}\)
7.
À quels points dans le plan \(xy\) est-ce que la courbe \(\vr(t) = \sin t\,\vi + t^2\,\vj\) se croise elle-même? Quelle est la différence en \(t\) entre la première fois que la courbe passe par un point, et la dernière ?
Réponse.
La courbe se croise elle-même à tous les points \((0,(\pi n)^2)\) où \(n\) est un entier. La courbe passe un tel point deux fois, à \(2\pi n\) unités de temps séparées.
8.
La courbe \(C\) est définie par l’intersection de l’ellipsoïde \(x^2-\frac{1}{4}y^2+3z^2=1\)
et du plan \(x+y+z=0.\)
Lorsque \(y\) est très près de 0, et \(z\) est négatif, trouvez une expression donnant \(z\) en terme de \(y\text{.}\)
Réponse.
\(z=-\frac12\sqrt{1-\frac{y^2}{2}}-\frac{y}{4}\)
9.
Une particule trace une courbe dans l’espace, de telle sorte que sa position dans le temps \(t\) est \(\vr(t)=e^{-t}\,\vi+\frac{1}{t}\,\vj+(t-1)^2(t-3)^2\,\vk\) pour \(t \gt 0\text{.}\)
Posons que l’axe des \(z\) positif pointe verticalement vers le haut, comme à l’habitude. Quand est-ce que la particule se déplace vers le haut, et quand est-ce qu’elle se déplace vers le bas? Est-ce qu’elle se déplace plus rapidement au temps \(t=1\) ou au temps \(t=3\text{?}\)
Réponse.
La particule se déplace en montant de \(t=1\) à \(t=2\text{,}\) et à partir de \(t=3\text{.}\) La particule se déplace en descendant de \(t=0\) à \(t=1\text{,}\) et de \(t=2\) à \(t=3\text{.}\)
La particule se déplace plus rapidement lorsque \(t=1\) que lorsque \(t=3\text{.}\)
10.
Quelle est la relation entre le vecteur vitesse et la vitesse scalaire d’une fonction vectorielle du temps?
Réponse.
Le vecteur vitesse est une quantité vectorielle, et donc possède une magnitude et une direction. La vitesse scalaire est un scalaire (soit la magnitude du vecteur vitesse). Ceci n’inclut pas la direction.
11.
Soit \(\vr(t)\) un chemin dans \(\R^3\text{.}\) Soient \(\vr'\text{,}\) \(\vr''\) , et \(\vr'''\) dénotant \(\diff{\vr}{t}\text{,}\) \(\difftwo{\vr}{t}\) et \(\frac{\mathrm{d}^3\vr}{\mathrm{d}{t}^3}\text{,}\) respectivement. Exprimez
\begin{equation*}
\diff{}{t}\big[ (\vr \times \vr')\cdot\vr'' \big]
\end{equation*}
en termes de \(\vr\text{,}\) \(\vr'\) , \(\vr''\) , et \(\vr'''\text{.}\) Selectionnez la bonne réponse.
-
\((\vr'\times\vr'' )\cdot\vr'''\text{,}\)
-
\((\vr'\times\vr'' )\cdot\vr + (\vr\times\vr' )\cdot\vr'''\text{,}\)
-
\((\vr\times\vr' )\cdot\vr'''\text{,}\)
-
\(0\text{.}\)
-
Aucune de ces réponses.
Réponse.
(c)
12.
Trouvez la vitesse, la vitesse scalaire et l’accélération au temps \(t\) pour une la particule dont la position est \(\vr(t)\text{.}\) Décrire le chemin de la particule.
-
\(\vr(t)= a \cos t\,\vi + a\sin t\,\vj + ct\,\vk\text{,}\)
-
\(\vr(t)= a \cos t\sin t\,\vi + a\sin^2 t\,\vj + a\cos t\,\vk\text{.}\)
Réponse.
(a)
\begin{align*}
\vv(t)&= -a \sin t\,\vi+a\cos t\,\vj+c\,\vk\\
\diff{s}{t}(t)&= \sqrt{a^2+c^2}\\
\va(t)&= -a \cos t\,\vi-a\sin t\,\vj
\end{align*}
Le chemin est une hélice de rayon \(a\) et à chaque tour de hauteur \(2\pi c\text{.}\)
(b)
\begin{align*}
\vv(t)&= a \cos 2t\,\vi +a\sin 2t\,\vj-a\sin t\,\vk\\
\diff{s}{t}(t)&= a\sqrt{1+\sin^2t}\\
\va(t)&= -2a \sin 2t\,\vi +2a\cos 2t\,\vj-a\cos t\,\vk
\end{align*}
Les coordonnées \((x,y)\) vont autour d’un cercle de rayon \(\frac{a}{2}\) et de centre \(\left(0,\frac{a}{2}\right)\) en sens anti-horaire. Au même moment, la coordonnée \(z\) oscille sur l’intervalle entre \(1\) et \(-1\) deux fois moins vite.
13.
Au temps \(t=0\text{,}\) une particule a \(\vr(0)=\rvt{-1}{0}{0}\) et \(\vv(0)=\rvt{0}{-1}{1}\) pour position et vitesse, respetivement. Au temps \(t\text{,}\) l’accélération est \(\va(t)=\rvt{\cos t,}{\sin t}{0}\text{.}\)
-
Trouver la position de la particule au temps \(t\text{.}\)
-
Montrer que les vecteurs vitesse et accélération sont toujours mutuellement orthogonaux.
-
Trouver l’équation de la tangente à la courbe décrite par la particule au point correspondant à \(t=-\pi/2\text{.}\)
-
Vrai ou Faux : Aucune tangente à la courbe décrite par la particule ne passe par \((0,0,0)\text{.}\) Justifiez.
Réponse.
(a) \(\vr(t)=\llt -\cos t, -\sin t, t\rgt\)
(b) \(\vv(t)\cdot\va(t)=0\)
(c) \(\vr(u)=\llt 0,1,-\frac{\pi}{2}\rgt+u\llt -1,0,1\rgt\)
(d) Vrai.
14.
La position d’une particule au temps \(t\) (mesuré en secondes) est donnée par
\begin{equation*}
\vr(t)=t\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\vi
+t\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\vj +t\,\vk
\end{equation*}
-
Montrez que la courbe décrite par la particule se trouve sur le cône \(z^2=x^2+y^2\text{.}\)
-
Trouvez le vecteur vitesse, ainsi que sa norme, au temps \(t\text{.}\)
-
Supposez qu’au temps \(t=1\)s la particule quitte sa trajectoire pour prendre la droite tangente \(L\text{.}\) Trouvez l’équation de la tangente \(L\text{.}\)
-
Combien de temps ça prend à la particule pour traverser le plan \(x=-1\) à compter du moment où elle commence à bouger le long de \(L\text{?}\)
Réponse.
(a) \(x(t)^2+y(t)^2=z(t)^2\) pour tout \(t\)
(b)
\begin{equation*}
\text{vitesse}= \big[\cos\left(\tfrac{\pi t}{2}\right)
-\tfrac{\pi t}{2}\sin\left(\tfrac{\pi t}{2}\right)\big]\vi
+\big[\sin\left(\tfrac{\pi t}{2}\right)
+\tfrac{\pi t}{2}\cos\left(\tfrac{\pi t}{2}\right)\big]\vj +\vk
\end{equation*}
\begin{equation*}
\text{vitesse scalaire}=\sqrt{2+\frac{\pi^2 t^2}{4}}
\end{equation*}
(c) \(\llt x,y,z\rgt = \llt 0,1,1\rgt +(t-1)\llt -\frac{\pi}{2},1,1\rgt\)
(d) \(\frac{2}{\pi}\) secondes
15.
Une particule de masse \(m = 1\) est située à \(\vr_0 = \frac{1}{2}\,\vk\) et admet pour vecteur vitesse \(\vv_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\vi\) au temps \(t=0\text{.}\) La particule se déplace soumise à la force \(\vF(t) = -3t\,\vi + \sin t\,\vj + 2e^{2t}\,\vk.\)
-
Trouvez la position \(\vr(t)\) de la particule au temps \(t\text{.}\)
-
À quel moment (après \(t=0\)) la particule croise-t-elle le plan \(x = 0\) pour la première fois?
-
Quel est le vecteur vitesse de la particule à l’instant trouvé en (b)?
Réponse.
(a) \(\vr(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\vi +
(t- \sin t)\,\vj + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\vk\)
(b) \(t=\pi\)
(c) \(-\pi^2\,\vi +2\,\vj + \left(e^{2\pi}-1\right)\,\vk\)
16.
Au temps \(t=0\) une particule se trouve à la position \(\vr(0)=\llt -1,0,0\rgt\) et se déplace avec vitesse \(\vv(0)=\llt 0,-1,1\rgt\text{.}\) À l’instant \(t\text{,}\) le particule a pour vecteur accélération \(\va(t)=\rvt{\cos t}{\sin t}{0}\text{.}\)
-
Trouver la position de la particvule au temps \(t\) (en secondes).
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Montrer qu’en tout temps les vecteurs vitesse et accélération sont orthogonaux. .
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Trouver l’équaiton de la tangente à la trajectoire de la particule au point correspondant à \(t=-\pi/2\text{.}\)
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Vrai ou Faux : Aucune des tangentes à la trajectoire de la particule ne passe par l’origine. Justifiez.
Réponse.
(a) \(\vr(t)=\llt -\cos t, -\sin t, t\rgt\)
(b) \(\vv(t)\cdot\va(t)=0\)
(c) \(\vr(u)=\llt 0,1,-\frac{\pi}{2}\rgt+u\llt -1,0,1\rgt\)
(d) Vrai
17.
On considère la courbe \(\Gamma\) paramétrée par \(\vr(t)=t\sin(\pi t)\,\vi+t\cos(\pi t)\,\vj +t^2\vk\,\qquad 0\leqslant t \lt \infty.\) La courbe démarre a l’origine, et événtuellement croise l’ellipsoïde \(E\) d’équation \(2x^2+2y^2+z^2=24\text{.}\)
-
Trouver les coordonnées du point \(P\) auquel \(\Gamma\) croise \(E\text{.}\)
-
Trouver un vecteur tangent à \(\Gamma\) en \(P\text{.}\)
Réponse.
(a) \(\vr(2)=2\vj+4\vk\)
(b) tout multiple non nul de \(\vr'(2)=2\pi\,\vi+\vj+4\,\vk\)
18.
Si une particule a une masse constante \(m\text{,}\) position \(\vr\text{,}\) et vecteur vitesse \(\vv\text{,}\) alors son moment angulaire est \(\vL=m(\vr\times\vv)\text{.}\)
Étant donnée une particule masse \(m=1\) et dont la position est donnée par \(\vr=(\sin t, \cos t, t)\text{,}\) trouver \(\norm{\diff{\vL}{t}}\text{.}\)
Réponse.
\(|t|\)
19.
Supposons qu’une particule voyage dans l’espace avec position donnée par \(\vr(t)\text{,}\) telle que \(\vr''(t)=-\vr(t)\text{.}\) Montrer que « l’energie » \(\norm{\vr(t)}^2+\norm{\vr'(t)}^2\) est constante (comme fonction de \(t\)).
Réponse.
\(\diff{}{t}\big[\norm{\vr(t)}^2+\norm{\vr'(t)}^2\big]=0\)
Pour aller plus loin.
20.
Une caméra montée sur un poteau peut pivoter sur un cercle complet. Elle suit un objet dont la position à l’instant \(t\) (en secondes) est \(x(t)\) mètres à l’est du poteau et \(y(t)\) mètres au nord.
Pour que la caméra soit toujours dirigée directement vers l’objet, à quelle vitesse doit-elle être programmée pour tourner à chaque instant \(t\text{?}\) (Donnez votre réponse en termes de \(x(t)\) et \(y(t)\) et de leurs dérivées, dans les unités rad/sec).
Réponse.
\(\frac{x(t)y'(t)-y(t)x'(t)}{x^2+y^2}\)
