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Section 4.9 Le théorème de la divergence

Dans cette section, nous verrons le troisième des théorèmes classiques du calcul vectoriel, à savoir le théorème de la divergence. Ce résultat est aussi connu sous le nom de théorème de Gauss, ou encore de théorème d’Ostrogradsky.
Le théorème de Stokes est une généralisation de ce que nous avons appelé la forme tangentielle du théorème de Green 4.5.2. En effet, celui-ci traite de régions dans le plan, tandis que le théorème de Stokes 4.8.1 traite de surfaces dans l’espace. Le théorème de Stokes restreint aux surfaces du plan devient le théorème de Green (forme tangentielle).
Une autre généralisation est possible : plutôt que de passer de surfaces dans le plan à des surfaces dans l’espace, nous pouvons passer de régions planes dont le bord est une courbe fermée (ou une réunion de courbes fermées) à des régions solides dont le bord est une surface fermée (ou une réunion de surfaces fermées) et nous intéresser au flux d’un champ de vecteurs à travers la surface en question. La forme normale du théorème de Green 4.5.13 devient alors le théorème de la divergence.

Sous-section Régions dans l’espace et leurs bords

Pour commencer, nous allons considérer des régions de \(\R^3\) avec lesquelles il est aisé de travailler. Lorsque nous avons étudié les intégrales triples, nous avons défini ce qu’est une région élémentaire (voir la définition 3.4.4). Une région de \(\R^3\) sera dite simple si elle est simultanément des types (†), (††) et (†††).
Une telle région admet pour frontière une surface \(\cS = \partial \cE\) qui est la réunion de surfaces lisses. De plus, nous allons convenir que \(\cS\) sera orientée vers l’extérieur de \(\cE\text{.}\) Nous adopterons cette convention pour toute surface fermée (c’est-à-dire qui est le bord d’une région solide).

Exemple 4.9.1.

Soit \(\cE\) la région de \(\R^3\) bornée par
  • le plan d’équation \(z=0\text{;}\)
  • le cylindre parabolique d’équation \(y=x^2\text{;}\)
  • le plan d’équation \(y+z=1\text{.}\)
La région est illustrée ci-contre.
Le bord de \(\cE\) est formé par trois portions de surfaces lisses, que nous nommerons \(\cS_1\text{,}\) \(\cS_2\) et \(\cS_3\text{.}\)
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Figure 4.9.2. La région \(\cE\) de \(\R^3\) et sa frontière.
  • \(\cS_1\) : la portion du plan \(z=0\) vérifiant \({-1\leqslant x \leqslant 1}\) et \({x^2 \leqslant y \leqslant 1}\text{.}\) C’est le bord inférieur de \(\cE\text{,}\) en rouge dans la figure. Le vecteur normal sur cette portion du bord est \(\vn_1 = - \vk\) (en rouge).
  • \(\cS_2\) : la portion du cylindre \(y=x^2\) comprise entre le plan \(z=0\) et le plan \(y+z=1\text{.}\) C’est la partie latérale du bord de \(\cE\text{,}\) en vert dans la figure. Le vecteur normal sur cette portion du bord de \(\cE\) est \({\vn_2 = 2x\,\vi - \vj}\) (en vert).
  • \(\cS_3\) : la portion du plan \(z=1-y\) qui se trouve au-dessus de \(\cS_1\text{.}\) C’est le bord supérieur de \(\cE\text{,}\) en bleu dans la figure. Le vecteur normal correspondant est \({\vn_3 = \vj + \vk}\) (en bleu).

Sous-section Le théorème de la divergence

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème de la divergence. Essentiellement, il dit que le flux d’un champ \(\vF\) vers l’extérieur d’une région \(\cE\text{,}\) c’est-à-dire l’intégrale de surface de \(\vF\) sur \(\cS = \partial \cE\text{,}\) est égal à l’intégrale triple de la divergence de \(\vF\) sur toute la région \(\cE\text{.}\)
De façon plus précise, nous avons le résultat suivant.
Remarquons que si \(\vF = P\,\vi + Q\, \vj + R\, \vk\text{,}\) l’intégrale triple s’écrit
\begin{gather*} \iiint_{\cE} \vnabla \cdot \vF\, \dee{V} = \iiint_{\cE} \div \vF\, \dee{V} = \iiint_{\cE} (P_x + Q_y + R_z)\, \dee{V}. \end{gather*}
Voyons quelques exemples.

Exemple 4.9.4.

Soit \({\vF =(x^3 + y^3)\,\vi + (y^3 + z^3)\,\vj + (z^3+ x^3)\,\vk}\text{.}\) Calculer le flux de \(\vF\) vers l’extérieur de la sphère \({x^2 + y^2 + z^2 = 1}\text{.}\)
Solution.
Soit \(\cE\) la boule unité, c’est-à-dire la région de \(\R^3\) définie par \({x^2+ y^2 + z^2 \leqslant 1}\text{.}\) Son bord \(\partial \cE = \cS\) est la sphère donnée.
Par ailleurs, écrivons \(\vF = P\,\vi + Q \,\vj + R\, \vk\text{.}\) Nous calculons alors
\begin{gather*} \vnabla \cdot \vF = \div \vF = P_x + Q_y + R_z = 3x^2+ 3y^2 + 3z^2. \end{gather*}
Ainsi, le flux qui nous intéresse est calculé par une intégrale triple, qu’on évalue en utilisant les coordonnées sphériques :
\begin{align*} \iint_{\cS}\vF\cdot\dee{\vS} \amp = \iiint_{\cE} 3(x^2+ y^2 + z^2)\,\dee{V} \\ \amp = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 3\rho^2 \, \rho^2\, \sin \phi\, \dee{\rho}\, \dee{\phi}\, \dee{\theta}\\ \amp = 3\left(\int_0^{2\pi}\dee{\theta}\right)\left(\int_0^\pi\sin \phi\, \dee{\phi}\right)\left(\int_0^1\rho^4\, \dee{\rho}\right) \\ \amp = 3\cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{12\pi}{5}. \end{align*}

À vous de jouer 4.9.5.

Utilisez le Théorème de la Divergence afin d’évaluer l’intégrale de surface \(\iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}\) .
\(\mathbf{F} = x^3\,\mathbf{i} + 5\,\mathbf{j} + z^3\,\mathbf{k}\text{,}\) \(\mathcal{S}\) est la sphère \(x^2+y^2+z^2=4\text{.}\)
\(\iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\)
Réponse.
\(160.85\)
Solution.
\(\mathbf{F} = x^3\,\mathbf{i} + 5\,\mathbf{j} + z^3\,\mathbf{k}\text{:}\)
\begin{equation*} \text{div} (\mathbf{F})=\frac{\partial }{\partial x}(x^3)+\frac{\partial }{\partial y}(5)+\frac{\partial }{\partial z}(z^3)= \end{equation*}
\begin{equation*} 3 x^2+3 z^2=3(x^2+ z^2) \end{equation*}
\(\mathcal{W}\)
\begin{equation*} \iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} =\iiint_{\mathcal{W}} \text{div} (\mathbf{F}) \,dV= \end{equation*}
\begin{equation*} \iiint_{\mathcal{W}} 3(x^2+ z^2) \,dV \end{equation*}
\begin{equation*} x^2+ z^2 = \rho^2\cos^2\theta \sin^2\phi +\rho^2 \cos^2\phi = \end{equation*}
\begin{equation*} \rho^2 \cos^2\theta \sin^2\phi +\rho^2(1-\sin^2\phi)= -\rho^2 \sin^2\phi (1-\cos^2\theta)+\rho^2 = \end{equation*}
\begin{equation*} -\rho^2 \sin^2\phi \sin^2\theta +\rho^2 = \rho^2 (1-\sin^2\phi \sin^2\theta) \end{equation*}
\begin{equation*} \iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \end{equation*}
\begin{equation*} 3\int_0^{2\pi } \int_0^{\pi } \int_0^{2} {\rho }^2(1-\sin^2\phi \sin^2\theta )\cdot {\rho }^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \,d\theta= \end{equation*}
\begin{equation*} 3\int_0^{2\pi } \int_0^{\pi } \int_0^{2} {\rho }^4 (\sin \phi -\sin^3\phi \sin^2\theta ) d\rho \, d\phi \,d\theta= \end{equation*}
\begin{equation*} 3\int_0^{2\pi } \int_0^{\pi } \int_0^{2} {\rho }^4 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \,d\theta \end{equation*}
\begin{equation*} -3\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^{2} \rho^4\sin^3\phi \sin^2\theta \,d\rho \, d\phi\,d\theta = \end{equation*}
\begin{equation*} 6\pi\left(\int_0^{\pi}\sin\phi\,d\phi\right)\left(\int_0^{2}\rho^4\,d\rho\right) \end{equation*}
\begin{equation*} -3\left(\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta\right)\left(\int_0^{\pi}\sin^3\phi\, d\phi \right)\left(\int_0^{2} {\rho }^4 \,d\rho \right)= \end{equation*}
\begin{equation*} 6\pi \left(-\cos\phi\bigg|_{\phi=0}^{\pi}\right) \left(\frac{\rho^5}{5}\bigg|_{\rho=0}^{2}\right) \end{equation*}
\begin{equation*} -3\left(\frac{\theta}{2}-\frac{\sin 2\theta}{4}\bigg|_{\theta =0}^{2\pi}\right) \cdot \left(-\frac{\sin^2\phi\cos\phi}{3}-\frac23 \cos\phi \bigg|_{\phi=0}^{\pi}\right) \left(\frac{\rho^5}{5}\bigg|_{\rho =0}^{2}\right) = \end{equation*}
\begin{equation*} \frac{32}{5}\left(12\pi -3\pi\cdot\frac43\right)=\frac{256\pi}{5} \end{equation*}

Exemple 4.9.6.

Soit \(\cE\) la région limitée par le cylindre \(y=x^2\) et les plans \(z=0\) et \(y+z=1\) (c’est la région de l’exemple 4.9.1, voir aussi la figure 4.9.2). Calculer le flux de \({\vF = xy\,\vi + y^2\, \vj + x^2\, \vk}\) à travers la surface \(\cS = \partial \cE\text{,}\) orientée vers l’extérieur de \(\cE\text{.}\)
Solution.
Posons \({\vF = P\,\vi + Q\, \vj + R\,\vk}\text{.}\) On calcule la divergence du champ \(\vF\) :
\begin{gather*} \vnabla \cdot \vF = \div \vF = P_x + Q_y + R_z = y+2y+0= 3y. \end{gather*}
Le théorème de la divergence nous permet de ramener le calcul de l’intégrale de flux à une intégrale triple. À l’exemple 3.4.7, nous avons déjà considéré cette région et établi les bornes d’intégration. On obtient alors
\begin{align*} \iint_{\cS} \vF \cdot \dee{\vS} = \iiint_{\cE} \vnabla \cdot \vF\, \dee{V} \amp = \iiint_{\cE} 3y \, \dee{V} \\ \amp = \int_{-1}^{1} \int_{x^2}^1 \int_0^{1-y} 3y\, \dee{z}\, \dee{y}\, \dee{x}\\ \amp = 3 \int_{-1}^1 \int_{x^2}^1 y(1-y)\, \dee{y}\, \dee{x} \\ \amp = 3 \int_{-1}^1 \left(\frac{1}{3}x^6 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{6}\right) \dee{x}\\ \amp = \frac{24}{35}. \end{align*}

À vous de jouer 4.9.7.

Utilisez la Théorème de la divergence pour évaluer l’intégrale de surface\(\iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}\) .
\(\mathbf{F} = (3 x+y)\,\mathbf{i} + z\,\mathbf{j} + (3 z-x)\,\mathbf{k}\text{,}\) \(\mathcal{S}\) est la frontière de la région comprise entre le paraboloïde \(z=9-x^2-y^2\) et le plan \(xy\text{.}\)
\(\iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\)
Réponse.
\(763.407\)
Solution.
\(\mathbf{F} = (3 x+y)\,\mathbf{i} + z\,\mathbf{j} + (3 z-x)\,\mathbf{k}\text{,}\)
\begin{equation*} \text{div} (\mathbf{F})=\frac{\partial }{\partial x}(3 x+y)+\frac{\partial }{\partial y}(z)+\frac{\partial }{\partial z}(3 z-x)= \end{equation*}
\begin{equation*} 3+0+3=6\text{.} \end{equation*}
\begin{equation*} \iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} =\iiint_{\mathcal{W}} \text{div} (\mathbf{F}) \,dV=\iiint_{\mathcal{W}} 6 \,dV \end{equation*}
\begin{equation*} \iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\mathcal{W}} 6 \,dV= \end{equation*}
\begin{equation*} \iint_{\mathcal{D}} \int_0^{9- x^2- y^2}6 \,dz \,dx \,dy= \iint_{\mathcal{D}} 6 z\bigg|_0^{9- x^2- y^2} \,dx \,dy= \end{equation*}
\begin{equation*} \iint_{\mathcal{D}} 6(9- x^2- y^2) \,dx \,dy \end{equation*}
\begin{equation*} x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad 0\le r\le 3, \quad 0\le \theta \le 2\pi \end{equation*}
\begin{equation*} \iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_0^{2\pi } \int_0^{3} 6\left(9-r^2\right)r \,dr \,d\theta = \end{equation*}
\begin{equation*} 12\pi \int_0^{3}(9 r- r^3) \,dr= 12\pi \left(\frac{9 r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\bigg|_0^{3}\right)= 243 \pi \end{equation*}
Voyons maintenant un exemple montrant comment utiliser le théorème de la divergence pour calculer le flux d’un champ à travers une surface qui n’est pas fermée. On comparera avec l’exemple 4.5.7.

Exemple 4.9.8.

Soit \(\vF\) le champ de vecteurs donné par
\begin{equation*} \vF = xy\, \vi + yz\, \vj + xz\, \vk \end{equation*}
et \(\cS\) la surface formée des faces du cube unité \([0,1]^3\text{,}\) à l’exception de la face supérieure \(z=1\text{.}\)
Calculer le flux de \(\vF\) à travers \(\cS\text{,}\) orientée vers l’extérieur du cube.
Agrandir la figure
Figure 4.9.9. La surface \(\cS\) (en bleu) et le champ \(\vF\text{.}\) La face manquante, en rouge, n’en fait pas partie.
Solution.
Notons pour commencer que la surface \(\cS\) n’est pas le bord d’une région solide : il ne s’agit pas d’une surface fermée.
En effet, si \(\cE\) est le cube unité, alors \(\partial \cE\) est formée de \(\cS\) avec en plus le carré de sommets \((0,0,1)\text{,}\) \((0,1,1)\text{,}\) \((1,0,1)\) et \((1,1,1)\text{.}\) Soit donc \(\cS'\) ce carré, de sorte que \(\partial \cE = \cS \cup \cS'\text{.}\) On peut appliquer le théorème de la divergence au cube \(\cE\text{,}\) ce qui nous donnera
\begin{align} \iiint_{\cE} \vnabla \cdot \vF \, \dee{V} \amp = \iint_{\cS} \vF \cdot \dee{\vS} + \iint_{\cS'} \vF \cdot \dee{\vS}. \tag{✶} \end{align}
Le flux qui nous intéresse est le premier terme de la somme, tout à droite. Nous allons calculer le terme de gauche (l’intégrale triple), ainsi que le tout dernier terme pour déduire la valeur qui nous intéresse.
Pour ceci, on commence par calculer \({\vnabla \cdot \vF = x+y+z}\text{,}\) de sorte que
\begin{align*} \iiint_{\cE}\vnabla \cdot \vF\, \dee{V} \amp = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (x+y+z)\, \dee{z}\, \dee{y}\, \dee{x} \\ \amp = \int_0^1 \int_0^1 \left(x+y+\frac{1}{2}\right) \dee{y}\, \dee{x}\\ \amp = \int_0^1 (x+1)\, \dee{x} = \frac{3}{2}. \end{align*}
Calculons maintenant le flux à travers \(\cS'\text{.}\) Sur cette surface, nous avons \(z=1\) et le vecteur normal est \(\vk\text{.}\) Ainsi, sur \(\cS'\text{,}\)
\begin{gather*} \vF \cdot \vk = (xy\, \vi + y\,\vj + x\,\vk)\cdot \vk = x. \end{gather*}
On calcule alors
\begin{gather*} \iint_{\cS'} \vF \cdot \dee{\vS} = \iint_{\cS'} \vF \cdot \vn\, \dee{S} = \iint_{[0,1]\times[0,1]} x\, \dee{A} = \frac{1}{2}. \end{gather*}
L’égalité (✶) ci-dessus devient alors
\begin{gather*} \frac{3}{2} = \iint_{\cS}\vF \cdot \dee{\vS} + \frac{1}{2}, \end{gather*}
et on déduit que le flux qui nous intéresse vaut \(1\text{.}\)
Notons que \(\cS\) est formée de cinq faces : on pourrait donc calculer notre flux avec cinq intégrales de surface. Aucune d’elles n’est particulièrement difficile, mais c’est un peu long.

À vous de jouer 4.9.10.

Soit \(\mathbf{F}(x,y,z)=2 z^2 x\mathbf{i} + (\frac {2} 3 y^3 + \tan(z))\mathbf{j} + (2 x^2z + 4 y^2)\mathbf{k}\text{.}\) Utilisez le Théorème de la Divergence pour évaluer \(\int_S \mathbf{F} \cdot \ d \mathbf{S}\text{,}\) où \(S\) est la moitié supérieure de la sphère \(x^2+y^2+z^2=1\text{,}\) orientée vers le haut.
\(\int\int_S \mathbf{F} \cdot \ d \mathbf{S}=\)
Réponse.
\(\frac{4\pi }{5}+\frac{4\pi }{4}\)
Solution.
\(S_2 = S\cup S_1\text{,}\)\(S\)\(x^2+y^2+z^2=1\)\(z=0\text{,}\)\(S_1\)\(x^2+y^2=1\)\(z=0\text{,}\)\(S_1\)\(\mathbf{n} = -\mathbf{k}\text{,}\)\(\mathbf{F} \cdot (-\mathbf{k}) = -2 x^2 z - 4 y^2 = -4 y^2\)\(S_1\)\(z=0\)\(S_1\)\(\int\int_{S_1} \mathbf{F} \cdot \ d \mathbf{S} = \int\int_{S_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ dS = \int\int_{S_1} (-4 y^2) \ dS = -4\int_0^{2\pi}\int_0^1 r^2(\sin^2\theta)r \ dr\ d\theta = \pi\text{.}\)\(E\)\(S_2\text{.}\)\(S_2\)\(\text{div}\ \mathbf{F} = \frac {\partial}{\partial x}(2 z^2 x) + \frac {\partial}{\partial y}(\frac {2} 3 y^3 + \tan(z)) + \frac {\partial}{\partial z}(2 x^2z + 4 y^2) = 2 z^2 + 2 y^2 + 2 x^2\text{,}\)\(\int\int_{S_2} \mathbf{F} \cdot \ d \mathbf{S} = \int \int \int_E \text{div}\ \mathbf{F} \ dV = 2 \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_0^1 \rho^2 \cdot \rho^2 \sin \phi \ d\rho\ d\phi\ d\theta = \frac{4} 5 \pi\text{.}\)\(\int\int_S \mathbf{F}\cdot \ d \mathbf{S}\ = \int\int_{S_2} \mathbf{F}\cdot \ d \mathbf{S}\ - \int\int_{S_1} \mathbf{F}\cdot \ d \mathbf{S}\ = \frac{4} 5 \pi-\pi = \frac {36}{20} \pi\text{.}\)
Voyons maintenant un autre exemple montrant comment calculer un flux à l’aide du théorème de la divergence.

Exemple 4.9.11.

Calculer le flux \(\iint_{\cS} \vF \cdot \vn\,\dee{S}\text{,}\) où \(\cS\) est la portion du cône \(z^2=x^2+y^2\) vérifiant \(1\leqslant z\leqslant 2\text{,}\) \(\vn\) est le vecteur normal unitaire pointant vers l’extérieur du cône, et où
\begin{gather*} \vF = 3x\,\vi + (5y+e^{\cos x})\,\vj + z\,\vk. \end{gather*}
La figure ci-contre montre \(\cS\text{,}\) en orange, ainsi que deux disques horizontaux, en bleu, qui serviront à la refermer.
Agrandir la figure
Figure 4.9.12. La surface \(\cS\) et le vecteur normal \(\vn\text{.}\)
Solution.
Le terme \(e^{\cos x}\) dans \(\vF\) suggère qu’une évaluation directe de l’intégrale peut être ardue
 1 
En fait, il est possible d’évaluer l’intégrale directement. Il suffit de remarquer que la partie problématique est une fonction impaire par rapport à \(y\text{,}\) et donc son intégrale est nulle.
et nous utilisons à nouveau le théorème de la divergence. À nouveau, \(\cS\) n’est pas la frontière d’une région solide. Il s’agit de la portion du cône illustrée dans la figure accompagnant l’énoncé ; il manque un couvercle en haut et un autre en bas.
Heureusement, nous avons une région solide \(\cE\) dont la frontière, sans être égale à \(\cS\text{,}\) contient \(\cS\text{.}\) Il s’agit de
\begin{gather*} \cE = \Set{(x,y,z)}{x^2+y^2\leqslant z^2,\ 1\leqslant z\leqslant 2}. \end{gather*}
Le bord \(\partial \cE\) est la réunion de \(\cS\) et de deux disques
\begin{align*} \cD_1 &= \Set{(x,y,z)}{x^2+y^2\leqslant z^2,\ \ z=1},\\ \cD_2 &= \Set{(x,y,z)}{x^2+y^2\leqslant z^2,\ \ z=2}. \end{align*}
Le théorème de la divergence donne alors
\begin{align*} \iiint_{\cE}\vnabla\cdot\vF\ \dee{V} &= \iint_{\partial \cE} \vF \cdot \dee{\vS}\\ &= \iint_{\cS} \vF \cdot \dee{\vS} + \iint_{\cD_1} \vF \cdot \dee{\vS} +\iint_{\cD_2} \vF \cdot \dee{\vS}, \end{align*}
ce qui implique
\begin{align*} \iint_{\cS} \vF \cdot \dee{\vS} &= \iiint_{\cE}\vnabla\cdot\vF\ \dee{V} -\iint_{\cD_1} \vF \cdot \dee{\vS} -\iint_{\cD_2} \vF \cdot \dee{\vS}. \end{align*}
Le terme de gauche, celui que nous cherchons, n’est pas facile à calculer directement. Cependant, les trois autres termes, ceux de droite, se calculent aisément.
Le vecteur normal au disque horizontal \(\cD_2\) est \(+\vk\text{.}\) Ainsi,
\begin{align*} \iint_{\cD_2} \vF \cdot \dee{\vS} &=\iint_{\cD_2} \vF\cdot\vk\,\dee{S} = \iint_{\cD_2} z\,\dee{S}. \end{align*}
Comme \(z=2\) sur \(\cD_2\text{,}\) qui est un disque de rayon \(2\text{,}\) nous avons
\begin{gather*} \iint_{\cD_2} \vF \cdot \dee{\vS} = 2\,\text{Aire}(\cD_2) = 2\pi\cdot 2^2 = 8\pi. \end{gather*}
De la même façon, le vecteur normal au disque horizontal \(\cD_1\) est \(-\vk\text{.}\) Ainsi,
\begin{align*} \iint_{\cD_1} \vF \cdot \dee{\vS} &=-\iint_{\cD_1} \vF\cdot\vk\,\dee{S} =-\iint_{\cD_1} z\,\dee{S}. \end{align*}
Comme \(z=1\) sur \(\cD_1\text{,}\) qui est un disque de rayon \(1\text{,}\)
\begin{gather*} \iint_{\cD_1} \vF \cdot \dee{\vS} =-\text{Aire}(\cD_1) = -\pi\cdot 1^2 = -\pi. \end{gather*}
Finalement, comme \({\vnabla\cdot\vF = 3+5+1 = 9}\text{,}\) nous avons
\begin{gather*} \iiint_{\cE}\vnabla\cdot\vF\ \dee{V} = 9\,\text{Vol}(\cE). \end{gather*}
Le volume de \(\cE\) peut être calculé facilement de plusieurs façons. Nous le faisons avec une intégrale simple. Pour ceci, nous découpons \(\cE\) en tranches horizontales, voir la figure ci-contre.
La tranche à la hauteur \(z\) a
  • une épaisseur \(\dee{z}\text{;}\)
  • une section circulaire de rayon \(z\) (puisque l’équation de la surface \(\cS\) est précisément \(x^2+y^2=z^2\)), donc d’aire \(\pi z^2\text{;}\)
  • un volume de \(\pi z^2\,\dee{z}\text{.}\)
Ainsi,
\begin{gather*} \iiint_{\cE}\vnabla\cdot\vF\ \dee{V} = 9 \,\text{Vol}(\cE) = 9\int_1^2 \pi z^2\,\dee{z} = 9\left[\frac{\pi z^3}{3}\right]_1^2 = 9\cdot \frac{7\pi}{3} =21\pi. \end{gather*}
En bout de ligne,
\begin{align*} \iint_{\cS} \vF \cdot \dee{\vS} &= \iiint_{\cE}\vnabla\cdot\vF\ \dee{V} - \iint_{\cD_1} \vF \cdot \dee{\vS} -\iint_{\cD_2} \vF \cdot \dee{\vS}\\ &= 21\pi - (-\pi) -8\pi =14\pi. \end{align*}

Mise en garde 4.9.13.

L’hypothèse selon laquelle le champ \(\vF\) admet des dérivées partielles continues sur toute la région \(\cE\) est cruciale. L’exemple ci-après le montre. Rappelons que nous avons quelque chose de semblable pour le théorème de Green : voir notamment la mise en garde 4.5.10 ainsi que l’exemple 4.5.11.
Tout comme le bord d’une région du plan peut être formé de plusieurs courbes (voir par exemple la figure 4.5.8), le bord d’une région solide \(\cE\) de \(\R^3\) peut être formé de plusieurs surfaces. Dans ce cas, la formule du théorème de la divergence reste valable, mais il faut orienter chaque surface convenablement, c’est-à-dire toujours vers l’extérieur de \(\cE\text{.}\) Dans le fond, c’est la même idée que celle qui a été mise à l’œuvre dans l’exemple 4.5.9.

Exemple 4.9.14.

Écrivons, comme à l’habitude, \({\vr = x\,\vi + y\,\vj + z\,\vk}\) et considérons le champ
\begin{gather*} \vF = \frac{\vr}{\norm{\vr}^3}. \end{gather*}
  1. Calculer \(\vnabla\cdot\vF\text{.}\)
  2. Calculer directement (c’est-à-dire sans utiliser le théorème de la divergence) le flux de \(\vF\) à travers la sphère unité \(\cS = \Set{(x,y,z)}{x^2+y^2+z^2=1}\text{,}\) orientée vers l’extérieur.
  3. Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0 \lt a \lt b\text{,}\) et \(\cE\) la région de \(\R^3\) définie par \(a^2 \leqslant x^2+ y^2 + z^2 \leqslant b^2\text{.}\) Calculer le flux de \(\vF\) vers l’extérieur de \(\cE\text{.}\)
  4. Montrer que le flux de \(\vF\) à travers n’importe quelle sphère (vers l’extérieur de celle-ci) peut prendre seulement deux valeurs, selon que la sphère englobe l’origine ou pas. Calculer ces valeurs.
Solution.
  1. Si \(\vr \ne\vZero\text{,}\)
    \begin{align*} \vnabla\cdot\vF(x,y,z) &=\frac{\partial }{\partial x}\frac{x}{{\big[x^2+y^2+z^2\big]}^{3/2}} +\frac{\partial }{\partial y}\frac{y}{{\big[x^2+y^2+z^2\big]}^{3/2}}\\ &\hskip1in+\frac{\partial }{\partial z}\frac{z}{{\big[x^2+y^2+z^2\big]}^{3/2}}\\ &=\frac{\big[x^2+y^2+z^2\big]-x\frac{3}{2}(2x)}{{\big[x^2+y^2+z^2\big]}^{5/2}} +\frac{\big[x^2+y^2+z^2\big]-y\frac{3}{2}(2y)}{{\big[x^2+y^2+z^2\big]}^{5/2}}\\ &+\frac{\big[x^2+y^2+z^2\big]-z\frac{3}{2}(2z)}{{\big[x^2+y^2+z^2\big]}^{5/2}}\\ &=0. \end{align*}
  2. Le vecteur normal unitaire à \(\cS\) est \({\vn = \tfrac{\vr}{\norm{\vr}}}\text{,}\) de sorte que
    \begin{align*} \iint_{\cS}\vF\cdot\vn\ \dee{S} &=\iint_{\norm{\vr}=1} \frac{\vr}{\norm{\vr}^3}\cdot \frac{\vr}{\norm{\vr}}\ \dee{S} =\iint_{\norm{\vr}=1} \frac{1}{\norm{\vr}^2}\ \dee{S} =\iint_{\norm{\vr}=1}\dee{S}\\ &=4\pi. \end{align*}
    Ceci illustre la mise en garde 4.9.13 précédente : bien que \(\vnabla\cdot\vF=0\) partout où \(\vF\) est défini, on ne peut pas appliquer le théorème de la divergence à la boule \(\cE = \Set{(x,y,z)}{x^2+y^2+z^2\leqslant 1}\text{,}\) puisque \(\vF\) n’est même pas défini à l’origine, un point de \(\cE\text{.}\) Le flux \(4\pi\ne 0\) que nous venons de calculer directement le confirme.
  3. Cette fois, la région \(\cE\) n’englobe pas l’origine, de sorte qu’il n’y a aucun problème de continuité et que la formule du théorème de la divergence s’applique. En vertu de la partie (a), \(\vnabla\cdot\vF = 0\text{,}\) de sorte que le flux qui nous intéresse est
    \begin{gather*} \iint_{\partial \cE} \vF \cdot \dee{\vS} = \iiint_{\cE} \vnabla \cdot \vF \, \dee{V} = 0. \end{gather*}
  4. Soit \(\cS\) une sphère quelconque, et supposons pour commencer que \(\cS\) n’englobe pas l’origine. Ceci veut dire que la distance de son centre à l’origine est strictement supérieure à son rayon. Soit \(\cB\) la boule limitée par notre sphère. Comme l’origine n’est pas dans \(\cB\text{,}\) nous pouvons utiliser le théorème de la divergence, ce qui donne
    \begin{gather*} \iint_{\cS} \vF \cdot \dee{\vS} = \iint_{\partial \cB} \vF \cdot \dee{\vS} = \iiint_{\cB} \vnabla \cdot \vF\,\dee{V} = 0. \end{gather*}
    Supposons maintenant que \(\cS\) englobe l’origine. La distance du centre de \(\cS\) à l’origine est donc strictement inférieure à son rayon. Il existe donc \(h\gt 0\) tel que la sphère de rayon \(h\) centrée à l’origine, que nous nommons \(\cS_h\text{,}\) soit entièrement contenue à l’intérieur de la sphère \(\cS\text{.}\)
    Soit cette fois \(\cV\) la région comprise entre \(\cS_h\) et \(\cS\text{,}\) de sorte que \(\partial\cV = \cS \cup \cS_h\text{.}\) Grâce au même calcul que celui de la partie (c), nous avons
    \begin{align*} 0 \amp = \iiint_{\cV} \vnabla \cdot \vF\, \dee{V} = \iint_{\partial \cV} \vF \cdot \dee{\vS} = \iint_{\cS} \vF \cdot \dee{\vS} + \iint_{\cS_h} \vF \cdot \dee{\vS}. \end{align*}
    Comme partie de la frontière de \(\cV\text{,}\) la sphère \(\cS_h\) doit être orientée par le vecteur normal unitaire qui pointe vers l’origine, à savoir \(-\vr / \norm{\vr}\text{.}\) Compte tenu de cette orientation, le calcul de la partie (b) nous donne
    \begin{gather*} \iint_{\cS_h} \vF \cdot \dee{\vS} = -4\pi, \end{gather*}
    de sorte que \(\iint_{\cS} \vF \cdot \dee{\vS} = 4\pi\text{.}\) Les deux valeurs possibles du flux sont donc \(0\) (sphère n’englobant pas l’origine) et \(4\pi\) (sphère englobant l’origine).

Exemple 4.9.15.

Calculer le flux \(\iint_{\cS}\vG\cdot \dee{\vS}\text{,}\) où \({\vG= 2x\,\vi +(2z-2x)\,\vj +(2x-2z)\,\vk}\) et
\begin{gather*} \cS=\Set{(x,y,z)}{z=\left(1-x^2-y^2\right)(1-y^3)\cos x\ e^{y},\ x^2+y^2\leqslant 1}, \end{gather*}
orientée par le vecteur normal qui pointe vers le haut.
Solution 1.
La surface \(\cS\) est représentée dans la figure ci-contre. Elle est plutôt compliquée, mais son bord \(\partial \cS\) est simple : il s’agit du cercle \(x^2+y^2=1\text{,}\) \(z=0\text{.}\) La figure montre aussi une surface auxiliaire \(\cS'\text{,}\) en rouge, qui nous servira bientôt, ainsi que les vecteurs normaux aux deux surfaces.
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Figure 4.9.16. Les surfaces \(\cS\) et \(\cS'\text{,}\) avec leurs vecteurs normaux.
L’évaluation directe de l’intégrale de surface n’est pas simple : les formules sont suffisamment compliquées pour qu’on veuille procéder autrement. Dans cette solution, nous allons nous servir du théorème de la divergence, notamment parce que
\begin{gather*} \vnabla\cdot\vG = \frac{\partial }{\partial x}(2x)+ \frac{\partial }{\partial y}(2z-2x)+ \frac{\partial }{\partial z}(2x-2z) = 0. \end{gather*}
Voici la stratégie à suivre.
  • Nous commençons par trouver une autre surface \(\cS'\) telle que son bord \(\partial \cS'\) soit aussi le cercle \(x^2+y^2=1\text{,}\) \(z=0\text{.}\) Un choix raisonnable pour \(\cS'\text{,}\) celle que nous allons utiliser, est le disque
    \begin{gather*} \cS' =\Set{(x,y,z)}{x^2+y^2\leqslant 1,\ z=0} \end{gather*}
  • Nous allons définir \(\cV\) comme étant le solide limité en haut par \(\cS\) et en bas par \(\cS'\text{.}\) Ainsi, le bord de \(\cV\) est \(\cS \cup \cS'\text{.}\)
  • Nous aurons alors
    \begin{gather*} \iiint_{\cV} \vnabla\cdot\vG\,\dee{V} =\iint_{\cS}\vG\cdot \dee{\vS} + \iint_{\cS'} \vG\cdot \dee{\vS}. \end{gather*}
    Le terme de gauche est nul, puisque \(\vnabla\cdot\vG=0\text{.}\) Ainsi,
    \begin{gather*} \iint_{\cS}\vG\cdot \dee{\vS} = - \iint_{\cS'} \vG\cdot \dee{\vS}. \end{gather*}
  • Le vecteur normal pour \(\cS'\) est \(-\vk\text{,}\) car il doit pointer vers l’extérieur de \(\cV\text{.}\)
Nous pouvons à présent calculer
\begin{align*} \iint_{\cS}\vG\cdot \dee{\vS} &=-\iint_{\cS'} \vG\cdot \dee{\vS} = - \iint_{\cS'} \vG\cdot \vn\, \dee{S}\\ &= - \iint_{\cS'} \vG\cdot (-\vk)\, \dee{S} = \iint_{\Atop{x^2+y^2\leqslant 1}{z=0}}(2x-2z)\,\dee{x}\dee{y}\\ &=\iint_{x^2+y^2\leqslant 1}2x\, \dee{A}\\ &=0 \end{align*}
puisque le domaine d’intégration est symétrique par rapport à la droite \(x=0\) et que la fonction \(2x\) est impaire en \(x\text{.}\)
Solution 2.
Pour cette deuxième solution, nous utiliserons plutôt le théorème de Stokes. Puisque \(\vnabla \cdot \vG = 0\text{,}\) à la lumière du théorème 4.3.6, il est permis de penser qu’il existe un champ \(\vF \) tel que \(\vG = \vnabla \times \vF\text{.}\) Un tel champ est appelé un potentiel vectoriel pour \(\vG\text{.}\)
Si c’était effectivement le cas, nous aurions, en vertu du théorème de Stokes,
\begin{align*} \iint_{\cS} \vG\cdot \dee{\vS} \amp = \iint_{\cS} (\vnabla \times \vF)\cdot \dee{\vS} \\ \amp = \int_{\partial \cS}\vF \cdot \dee{\vr}, \end{align*}
où \(\cC = \partial \cS\) est le cercle \(x^2 + y^2 = 1\) du plan \(z=0\text{,}\) illustré en rouge ci-contre.
Agrandir la figure
Figure 4.9.17. La surface \(\cS\) et son bord \(\cC\text{.}\)
Cherchons donc un potentiel vectoriel \(\vF = P \, \vi + Q\,\vj + R\, \vk\text{.}\) Supposons pour commencer que \(R = 0\text{,}\) de sorte que \(\vF = P\, \vi + Q\,\vj\) et l’égalité \(\vnabla \times \vF = \vG\) se traduit par les égalités
\begin{align*} - Q_z \amp = 2x \\ P_z \amp = 2z -2x\\ Q_x - P_y \amp= 2x-2z \end{align*}
L’intégration de la première égalité par rapport à \(z\) donne
\begin{gather*} Q(x,y,z) = -2xz + \phi(x,y) \end{gather*}
pour une certaine fonction \(\phi.\)
De la même façon, l’intégration de la deuxième égalité, toujours par rapport à \(z\) donne
\begin{gather*} P(x,y,z) = z^2 -2xz + \psi(x,y) \end{gather*}
pour une certaine fonction \(\psi\text{.}\)
Finalement, la troisième égalité est satisfaite si et seulement si
\begin{align*} \pdiff{}{x}\left(-2xz+ \phi\right) - \pdiff{}{y}\left(z^2 -2xz+\psi\right) \amp = 2x-2z\\ \Leftrightarrow \amp -2z+\phi_x - \psi_ y = 2x-2z\\ \Leftrightarrow \amp \phi_x - \psi_y = 2x. \end{align*}
Un choix possible est \(\phi(x,y) = x^2\) et \(\psi(x,y) = 0\text{.}\) Ceci conduit à \({\vF = (z^2 -2xz)\,\vi + (x^2 -2xz)\,\vj}\text{.}\) On vérifie en effet que \(\vnabla \times \vF = \vG\text{,}\) comme on le voulait.
Le cercle \(\cC = \partial \cS\) peut être paramétré par \({\vr(t) = \cos t\, \vi + \sin t\, \vj}\) pour \({t\in[0,2\pi]}\) (l’orientation est compatible avec celle de \(\cS\)). On calcule alors
\begin{align*} \int_{\cC}\vF \cdot \dee{\vr} \amp = \int_{\cC} (z^2 -2xz)\, \dee{x} + (x^2 -2xz)\, \dee{y} \\ \amp = \int_{\cC}x^2 \,\dee{y} = \int_0^{2\pi}\cos^2 t\cdot \cos t\, \dee{t} =0, \end{align*}
Voyons maintenant quelques variations souvent utiles du théorème de la divergence.
Aide-mémoire. Les trois formules peuvent être combinées en
\begin{gather*} \iint_{\partial \cV} \vn \ast \tilde F\,\dee{S} =\iiint_{\cV} \vnabla \ast \tilde F\ \dee{V} \end{gather*}
où \(\ast\) peut être \(\cdot\) (un produit scalaire), \(\times\) (un produit vectoriel) ou rien du tout (le produit d’un vecteur par un scalaire). Lorsque \(\ast =\cdot\) ou \(\ast =\times\text{,}\) alors \(\tilde F=\vF\text{.}\) Lorsque \(\ast\) n’est rien du tout, \(\tilde F=f\text{,}\) une fonction à valeurs scalaires.

Démonstration.
La première formule n’est rien d’autre que le théorème de la divergence (théorème 4.9.3).
Afin de démontrer la deuxième formule, soit \(\vF=f\va\text{,}\) où \(\va\) est un vecteur constant, et appliquons le théorème de la divergence.
\begin{align*} \iint_{\partial \cV} f\va\cdot\vn \,\dee{S} &=\iiint_{\cV} \vnabla\cdot(f\va)\ \dee{V}\\ &=\iiint_{\cV} \big[(\vnabla f)\cdot\va +f\underbrace{\vnabla\cdot\va}_{=0}\big]\ \dee{V}\\ &=\iiint_{\cV} (\vnabla f)\cdot\va\ \dee{V} \end{align*}
Pour obtenir la deuxième ligne, nous avons utilisé la partie (c) du théorème 4.3.18. Pour obtenir la troisième ligne, nous avons simplement utilisé le fait que \(\va\) est constant, de sorte que toutes ses dérivées sont nulles. On peut écrire de façon équivalente
\begin{gather*} \iiint_{\cV} (\vnabla f)\cdot\va\ \dee{V} =\iiint_{\cV} \va\cdot(\vnabla f)\ \dee{V} \end{gather*}
Puisque \(\va\) est constant, on peut le mettre en évidence, de sorte que
\begin{align*} &\va\cdot\iint_{\partial \cV} f\vn \,\dee{S} =\va\cdot\iiint_{\cV} \vnabla f\ \dee{V}\\ \implies &\va\cdot\bigg\{\iint_{\partial \cV} f\vn \,\dee{S} -\iiint_{\cV} \vnabla f\ \dee{V}\bigg\}=0 \end{align*}
En particulier, en choisissant \(\va=\vi\text{,}\) \(\vj\) et \(\vk\text{,}\) nous obtenons que les trois composantes du vecteur \(\iint_{\partial \cV} f\vn \,\dee{S} -\iiint_{\cV} \vnabla f\ \dee{V}\) sont nulles. Il vient donc
\begin{gather*} \iint_{\partial \cV} f\vn \,\dee{S} -\iiint_{\cV} \vnabla f\ \dee{V}=0 \end{gather*}
qui est l’égalité que nous voulions établir.
Afin d’établir la validité de la troisième formule, on applique le théorème de la divergence au champ \(\va\times\vF\text{,}\) où \(\va\) est n’importe quel vecteur constant.
\begin{align*} &\iint_{\partial \cV} (\va\times\vF)\cdot\vn \ \dee{S} =\iiint_{\cV} \vnabla\cdot(\va\times\vF)\ \dee{V}\\ &\hskip0.5in=\iiint_{\cV} \big[\vF\cdot\underbrace{(\vnabla \times \va)}_{=\vZero} -\va\cdot(\vnabla\times\vF)\big]\ \dee{V}\\ &\hskip0.5in=-\iiint_{\cV} \va\cdot(\vnabla \times\vF)\ \dee{V} =-\va\cdot\iiint_{\cV} \vnabla \times\vF\ \dee{V} \end{align*}
Pour obtenir la deuxième ligne, nous avons utilisé l’identité de la partie (d) du théorème 4.3.18. Pour obtenir la troisième ligne, nous utilisons à nouveau le fait que \(\va\) est constant, de sorte que ses dérivées sont nulles. Nous avons aussi une identité qui combine le produit vectoriel et le produit scalaire : \({(\va\times\vb)\cdot\vc=\va\cdot(\vb\times\vc)}\) (établie à la partie (a) de la proposition 1.3.8). Ainsi,
\begin{gather*} (\va\times\vF)\cdot\vn =\va\cdot(\vF\times\vn ) \end{gather*}
et
\begin{align*} &\va\cdot\iint_{\partial \cV} \vF\times\vn\ \dee{S} =-\va\cdot\iiint_{\cV} \vnabla \times\vF\ \dee{V}\\ \implies &\va\cdot\bigg\{\iint_{\partial \cV} \vF\times\vn\ \dee{S} +\iiint_{\cV} \vnabla\times\vF\ \dee{V}\bigg\}=0 \end{align*}
En particulier, en choisissant \(\va=\vi\text{,}\) \(\vj\) et \(\vk\text{,}\) nous voyons que les trois composantes du vecteur \(\iint_{\partial \cV} \vF\times\vn\ \dee{S} +\iiint_{\cV} \vnabla\times\vF\ \dee{V}\) sont nulles. Ainsi
\begin{gather*} \iiint_{\cV} \vnabla\times\vF\ \dee{V} =-\iint_{\partial \cV} \vF\times\vn\ \dee{S} =\iint_{\partial \cV} \vn \times\vF\ \dee{S} \end{gather*}
ce qui est précisément ce que nous voulions.

Sous-section Application : l’équation de la chaleur

Soit \(T(x,y,z,t)\) la température au temps \(t\) au point \((x,y,z)\) pour un objet occupant une région \(\cB\) de l’espace. L’équation de la chaleur
 2 
L’équation de la chaleur a été formulée par le mathématicien et physicien français Jean-Baptiste Joseph Fourier en 1807. Il a vécu de 1768 à 1830, une période qui comprend à la fois la Révolution française et le règne de Napoléon. Fourier a fait partie du comité révolutionnaire local, a été brièvement emprisonné pendant la Terreur et a été le conseiller scientifique de Napoléon Bonaparte lors de son expédition en Égypte en 1798. Les séries de Fourier et la transformée de Fourier portent son nom. On lui attribue également la découverte de l’effet de serre.
est l’équation aux dérivées partielles qui décrit le flux d’énergie thermique, et donc le comportement de \(T\text{.}\) Montrons comment le théorème de la divergence permet de déduire l’équation de la chaleur à partir de certaines « lois » de la physique que nous prenons pour acquises :
  • La quantité d’énergie nécessaire pour augmenter la température d’un objet de \(\De T\) degrés est \(CM\,\De T\text{,}\) où \(M\) est la masse de l’objet et \(C\) est une constante positive déterminée par le matériau dont l’objet est fait ; c’est ce qu’on appelle la « chaleur spécifique »
     3 
    On comprend maintenant que la chaleur provient de l’énergie interne de l’objet. Dans une théorie antérieure, la chaleur était considérée comme la mesure d’un fluide invisible, appelé « calorique ». La quantité de calorique qu’un objet peut contenir était appelée sa « capacité calorique » par le médecin et chimiste écossais Joseph Black (1728–1799).
    de l’objet.
  • Pensons à l’énergie thermique comme à un fluide en mouvement. La chaleur s’écoule dans la direction opposée à celle du gradient de température, avec un champ de flux égal à \(-\ka\vnabla T(x,y,z,t)\text{.}\) Ici, \(\ka\) est une autre constante positive, appelée la « conductivité thermique » de l’objet. Ainsi, le taux auquel la chaleur est conduite à travers une portion de surface d’aire \(\dee{S}\) au point \((x,y,z)\text{,}\) dans la direction du vecteur normal \(\vn\text{,}\) est donné par \(-\ka\vn\cdot\vnabla T(x,y,z,t)\,\dee{S}\) au temps \(t\) (voir le lemme 4.7.13 au besoin).
    Par exemple, dans la figure ci-contre, le gradient de température, qui pointe dans la direction où la température augmente, est de sens opposé à \(\vn\text{.}\) En conséquence, le taux \(-\ka\vn\cdot\vnabla T(x,y,z,t)\,\dee{S}\) est positif, ce qui indique un écoulement dans la direction de \(\vn\text{.}\) Ceci correspond à ce qu’on attend — la chaleur « s’écoule » des régions chaudes vers les régions froides. De plus, ce taux grandit à mesure que la norme du gradient de température grandit. C’est raisonnable, et cela rappelle la loi du refroidissement de Newton.
Soit \(\cV\subset\cB\) n’importe quelle
 4 
Il faut tout de même que sa frontière soit suffisamment raisonnable pour pouvoir appliquer nos théorèmes.
région contenue dans notre objet, \(\partial \cV\) sa frontière et \(\vn\) un vecteur normal à \(\partial \cV\) pointant vers l’extérieur de \(\cV\text{.}\) La quantité de chaleur qui entre dans \(\cV\) à travers un petit morceau de surface \(\dee{S}\) de \(\partial \cV\) pendant un petit intervalle de temps \(\dee{t}\) est \(-\left(-\ka\vn\cdot\vnabla T(x,y,z,t)\,\dee{S}\right)\,\dee{t}\text{.}\) La quantité de chaleur qui entre dans \(\cV\) à travers toute sa frontière \(\partial \cV\) pendant cet intervalle de temps est donnée par
\begin{gather*} \iint_{\partial \cV} \ka\vn\cdot\vnabla T(x,y,z,t)\,\dee{S}\,\dee{t} \end{gather*}
Pendant cette même période de temps, la température au point \((x,y,z)\) de \(\cV\) varie de \(\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\dee{t}\text{.}\) Si la densité de l’objet au point \((x,y,z)\) est \(\rho(x,y,z)\text{,}\) la quantité d’énergie requise pour accroître la température d’un petit morceau de volume \(\dee{V}\) centré en \((x,y,z)\) de \(\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\dee{t}\) est \(C(\rho\dee{V})\,\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\dee{t}\text{.}\) La quantité d’énergie requise pour accroître la température de toute la région \(\cV\) de \(\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\dee{t}\) est alors
\begin{gather*} \iiint_{\cV} C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)\,\dee{V}\,\dee{t} \end{gather*}
Supposons maintenant que notre objet ne dissipe ni n’engendre de la chaleur
 5 
La théorie du « calorique » a elle-même été réfutée par l’expérience du physicien états-unien / britannique Benjamin Thompson (1753–1814) qui a réussi à faire bouillir de l’eau en utilisant la chaleur engendrée par la friction pendant l’alésage d’un canon.
par lui-même. Ainsi, cette quantité doit être égale à la quantité de chaleur qui entre dans \(\cV\) pendant ce laps de temps, c’est-à-dire
\begin{gather*} \iint_{\partial \cV} \ka\vn\cdot\vnabla T\,\dee{S}\,\dee{t} =\iiint_{\cV} C\rho\frac{\partial T}{\partial t}\,\dee{V}\,\dee{t} \end{gather*}
Divisons par \(\dee{t}\) et écrivons l’expression de gauche comme une intégrale triple sur \(\cV\text{,}\) grâce au théorème de la divergence. Cela donne
\begin{gather*} \iiint_{\cV} \ka\vnabla\cdot\vnabla T\,\dee{V} =\iiint_{\cV} C\rho\frac{\partial T}{\partial t}\,\dee{V} \end{gather*}
Comme ces deux intégrales ont le même domaine, nous avons
\begin{align*} &\iiint_{\cV} \ka\vnabla\cdot\vnabla T\,\dee{V} -\iiint_{\cV} C\rho\frac{\partial T}{\partial t}\,\dee{V} =0\\ &\hskip1in\implies \iiint_{\cV} \left[\ka\vnabla^2 T - C \rho\frac{\partial T}{\partial t}\right]\,\dee{V}=0 \tag{H} \end{align*}
où \(\vnabla^2=\vnabla\cdot\vnabla=\frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2}\) est le laplacien. Ceci étant vrai pour toute région \(\cV\) et pour tout instant \(t\text{,}\) nous affirmons qu’il faut nécessairement avoir
\begin{gather*} \ka\vnabla^2 T(x,y,z,t)-C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t)=0 \end{gather*}
pour tout \((x,y,z)\in \cB\) et pour tout \(t\text{.}\)
En effet, supposons au contraire qu’il existe un point \((x_0,y_0,z_0)\) dans \(\cB\) et un instant \(t_0\) tels que, par exemple, \(\ka\vnabla^2 T(x_0,y_0,z_0,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x_0,y_0,z_0,t_0) \gt 0\text{.}\) En vertu de la continuité, \(\ka\vnabla^2 T(x,y,z,t_0) - C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t_0)\) doit être proche de \(\ka\vnabla^2 T(x_0,y_0,z_0,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x_0,y_0,z_0,t_0)\) lorsque \((x,y,z)\) est proche de \((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Ainsi, nous aurions
\begin{gather*} \ka\vnabla^2 T(x,y,z,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t_0) \gt 0 \end{gather*}
pour \((x,y,z)\) dans une petite boule \(\cE\) centrée en \((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Alors
\begin{gather*} \iiint_{\cE} \Big[\ka\vnabla\cdot\vnabla T(x,y,z,t_0) -C\rho\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,z,t_0)\Big]\,\dee{V} \gt 0 \end{gather*}
ce qui contredit l’équation (H) lorsque \(\cV=\cE\text{.}\) Nous avons donc établi l’équation de la chaleur, à savoir
En guise d’application, étudions la température à une certaine distance de la surface de la Terre. Pour simplifier, supposons que la Terre est plate et que la température \(T\) dépend seulement du temps \(t\) et de la profondeur \(z\text{.}\) Dans ce contexte, l’équation de la chaleur devient
\begin{gather*} \frac{\partial T}{\partial t}(z,t) =\alpha \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}(z,t) \tag{HE} \end{gather*}
Nous choisissons notre système de coordonnées de sorte que la surface de la Terre corresponde à \(z=0\) et que \(z\) augmente à mesure qu’on descend. Nous supposerons aussi que la température à la surface, \(T(0,t)\text{,}\) est principalement déterminée par le soleil et est donnée par
\begin{gather*} T(0,t)=T_0+T_A\cos(\sigma t)+T_D\cos(\delta t) \tag{BC} \end{gather*}
Ici \(T_0\) est la température moyenne à long terme, \(T_A\cos(\sigma t)\) prend en compte des variations saisonnières, tandis que \(T_D\cos(\delta t)\) donne les variations quotidiennes.
Nous mesurons le temps en jours, de sorte que \(\delta =2\pi\) et \({\sigma =\tfrac{2\pi}{1\text{ an}}=\tfrac{2\pi}{365\text{ jours}}}\text{.}\) Alors, \(T_A\cos(\sigma t)\) a une période d’un an et \(T_D\cos(\delta t)\) a une période d’un jour. La solution de l’équation (HE) avec la condition au bord (BC) peut être trouvée avec la méthode de séparation des variables, un sujet standard dans les cours d’équations différentielles. La solution est
\begin{align*} T(z,t)&=T_0 +T_Ae^{-\sqrt{\sigma \over 2\alpha}\ z} \cos\Big(\sigma t-\sqrt{\frac{\sigma }{2\alpha}}\ z\Big)\\ &\hskip1in+T_De^{-\sqrt{\delta \over 2\alpha}\ z} \cos\Big(\delta t-\sqrt{\frac{\delta }{2\alpha}}\ z\Big) \tag{SLN} \end{align*}
Il est routinier de vérifier que (SLN) est en effet solution de (HE) et vérifie (BC).
Voyons maintenant ce qu’on peut tirer de la solution (SLN). Pour une profondeur fixe \(z\text{,}\) la moyenne par rapport au temps de \(T(z,t)\) est \(T_0\) (simplement parce que la valeur moyenne de la fonction cosinus est nulle), la même que la température moyenne à la surface, c’est-à-dire lorsque \(z=0\text{.}\)
Le terme \(T_Ae^{-\sqrt{\sigma \over 2\alpha}\ z} \cos\Big(\sigma t-\sqrt{\frac{\sigma }{2\alpha}}\ z\Big)\)
  • introduit une oscillation de période un an, tout comme \(T_A\cos(\sigma t)\text{;}\)
  • a une amplitude \(T_Ae^{-\sqrt{\sigma \over 2\alpha}\ z}\) qui vaut \(T_A\) à la surface et décroît exponentiellement à mesure que \(z\) grandit. Un accroissement de la profondeur \(z\) de \(\sqrt{\frac{2\alpha}{\sigma}}\) entraîne une diminution de l’amplitude de l’oscillation d’un facteur \(\frac{1}{e}\text{.}\) Ces deux premières observations sont probablement en accord avec notre intuition, mais la solution a aussi une troisième propriété, peut-être moins évidente ;
  • présente un décalage dans le temps de \(\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}}\) par rapport à \(T_A\cos(\sigma t)\text{.}\) Le terme pour la surface, \(T_A\cos(\sigma t)\text{,}\) atteint son maximum lorsque \(t=0,\ \frac{2\pi}{\sigma},\ \frac{4\pi}{\sigma},\ \cdots\text{.}\) À une profondeur \(z\text{,}\) le terme correspondant \(T_Ae^{-\sqrt{\sigma \over 2\alpha}\ z} \cos\Big(\sigma t-\sqrt{\frac{\sigma }{2\alpha}}\ z\Big)\) atteint son maximum lorsque \(\sigma t-\sqrt{\frac{\sigma }{2\alpha}}\ z =0,\ 2\pi, 4\pi,\ \cdots\) de sorte que \(t=\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}},\ \frac{2\pi}{\sigma}+\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}},\ \frac{4\pi}{\sigma}+\frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}},\ \cdots\text{.}\)
De la même façon, le terme \(T_De^{-\sqrt{\delta \over 2\alpha}\ z} \cos\Big(\delta t-\sqrt{\frac{\delta }{2\alpha}}\ z\Big)\)
  • varie dans le temps avec une période d’une journée, tout comme \(T_D\cos(\delta t)\text{;}\)
  • a une amplitude qui vaut \(T_D\) à la surface et décroît exponentiellement d’un facteur \(\frac{1}{e}\) pour une augmentation de \(\sqrt{\tfrac{2\alpha}{\delta}}\) de la profondeur;
  • présente un décalage dans le temps de \(\frac{z}{\sqrt{2\alpha\delta}}\) par rapport à \(T_D\cos(\delta t)\text{.}\)
Pour l’eau, la valeur de \(\alpha\) est approximativement \(0.012\ \text{m}^2/\text{jour}\text{.}\) Cette valeur de \(\alpha\) donne
\begin{gather*} \sqrt{\frac{2\alpha}{\sigma}}\approx 1.2\ \text{m},\qquad \sqrt{\frac{2\alpha}{\delta}}\approx 0.062\ \text{m}, \qquad \frac{z}{\sqrt{2\alpha\sigma}}\approx 49\, z\ \text{jours}, \qquad \frac{z}{\sqrt{2\alpha\delta}}\approx 2.6\, z\ \text{jours} \end{gather*}
pour \(z\) mesurée en mètres. Ainsi, à une profondeur de quelques mètres, la température est relativement constante dans le temps, et ce qui en varie est décalé de quelques mois par rapport à la surface.

Exercices Exercices

Pour se pratiquer.

1.

Soit \(\cV\) le cube \({\cV=\Set{(x,y,z)}{0\leqslant x\leqslant 1,\ 0\leqslant y\leqslant 1,\ 0\leqslant z\leqslant 1}}\) et \(\cR\) le carré \({\cR=\Set{(x,y)}{0\leqslant x\leqslant 1,\ 0\leqslant y\leqslant 1}}\text{,}\) et soit \(f(x,y,z)\) une fonction de classe \(C^1\text{.}\)
  1. Utiliser le théorème fondamental du calcul pour montrer que
    \begin{gather*} \iiint_{\cV}\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\,\dee{x}\,\dee{y}\,\dee{z} =\iint_{\cR}\! f(x,y,1)\,\dee{x}\,\dee{y} -\! \iint_{\cR}\! f(x,y,0)\,\dee{x}\,\dee{y}\text{.} \end{gather*}
  2. Utiliser le théorème de la divergence pour montrer que
    \begin{gather*} \iiint_{\cV}\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\,\dee{x}\,\dee{y}\,\dee{z} =\iint_{\cR}\! f(x,y,1)\,\dee{x}\,\dee{y} -\! \iint_{\cR}\! f(x,y,0)\,\dee{x}\,\dee{y}\text{.} \end{gather*}

2.

  1. Appliquer le théorème de la divergence à \(\vF=\phi\,\va\text{,}\) où \(\va\) est un vecteur constant arbitraire, pour montrer que
    \begin{gather*} \iiint_{\cV} \vnabla\phi\,\dee{V}=\iint_{\partial \cV}\phi\,\vn \,\dee{S}\text{.} \end{gather*}
  2. Montrer que le centre de gravité \((\bar x,\bar y,\bar z)\) d’un solide \(\cV\) de volume \(|\cV|\) est donné par
    \begin{gather*} (\bar x,\bar y,\bar z)=\frac{1}{2|\cV| }\iint_{\partial \cV} (x^2+y^2+z^2)\,\vn \,\dee{S}\text{.} \end{gather*}

3.

Soit \(\cS\) la sphère unité centrée à l’origine, avec le vecteur normal pointant vers l’extérieur. Si \({\vF=x\,\vi+y\,\vj+z^2\,\vk}\text{,}\) calculer le flux de \(\vF\) à travers \(\cS\)
  1. directement, et
  2. en utilisant le théorème de la divergence.
Réponse.
\(\tfrac{8\pi}{3}\)

4.

Calculer de deux façons \(\iint_{\cS}\vF\cdot \vn \,\dee{S}\text{,}\) où \(\vF=z\,\vk\text{,}\) \(\cS\) est la surface \(x^2+y^2+z^2=a^2\) et \(\vn \) est le vecteur normal à \(\cS\) pointant vers l’extérieur.
  1. d’abord par un calcul de l’intégrale de surface;
  2. puis en utilisant le théorème de la divergence.
Réponse.
\(\tfrac{4}{3}\pi a^3\) (par les deux méthodes)

5.

Soit
  • \({\vF=zy^3\,\vi +yx\, \vj +(2z+y^2)\,\vk}\text{;}\)
  • \(\cV\) la région de \(\R^3\) définie par \({0\leqslant z\leqslant \tfrac{9-x^2-y^2}{9+x^2+y^2}}\text{;}\)
  • \(\cD\) la surface inférieure du bord de \(\cV\text{.}\) Puisque \(\tfrac{9-x^2-y^2}{9+x^2+y^2}\) est positive pour \(x^2+y^2 \lt 9\) et négative pour \(x^2+y^2 \gt 9\text{,}\) la surface inférieure est \(z=0\text{,}\) \(x^2+y^2\leqslant 9\text{;}\)
  • Soit \(\cS\) la portion courbe du bord de \(\cV\text{.}\) Il s’agit de \({z=\tfrac{9-x^2-y^2}{9+x^2+y^2}}\text{,}\) \(x^2+y^2\leqslant 9\text{.}\) Voici une esquisse.
Soit \(|\cV|\) le volume de \(\cV\text{.}\) Calculer, en termes de \(|\cV|\text{,}\)
  1. \(\iint_{\cD}\vF\cdot \vn \,\dee{S}\) avec \(\vn \) pointant vers le bas;
  2. \(\iiint_{\cV}\vnabla\cdot \vF\,\dee{V}\text{;}\)
  3. \(\iint_{\cS}\vF\cdot\vn \,\dee{S}\) avec \(\vn \) pointant vers l’extérieur.
Utiliser le théorème de la divergence pour répondre à au moins une des questions (a), (b) ou (c).
Réponse.
  1. \(\displaystyle -\tfrac{81}{4}\pi\)
  2. \(\displaystyle 2|\cV| \)
  3. \(\displaystyle 2|\cV| +\tfrac{81}{4}\pi\)

6.

Évaluer, par deux méthodes, l’intégrale \(\iint_{\cS}\vF\cdot \vn \,\dee{S}\text{,}\) où \({\vF=x\,\vi+y\,\vj+\vk}\text{,}\) \(\cS\) est la surface \(z=1-x^2-y^2\) pour \(x^2+y^2 \leqslant 1\text{,}\) et \(\vn \) est le vecteur normal pointant vers le haut.
  1. d’abord par un calcul direct de l’intégrale de surface;
  2. puis grâce au théorème de la divergence.
Réponse.
\(2\pi\) (par les deux méthodes)

7.

Soit \({\vF = (z + \sin y)\,\vi + zy\,\vj + \sin x \cos y\,\vk}\text{.}\)
  1. Calculer la divergence de \(\vF\text{.}\)
  2. Calculer le flux de \(\vF\) à travers la sphère de rayon \(3\) centrée à l’origine dans \(\R^3\text{.}\)
Réponse.
  1. \(\displaystyle z\)
  2. \(\displaystyle 0\)

8.

La paroi d’un silo à grains est décrite par la portion du cylindre \(x^2 + y^2 = 1\) avec \(0 \leqslant z\leqslant 1\text{.}\) Le toit du silo est la portion de la sphère \(x^2+ y^2+ z^2 = 2\) qui se trouve à l’intérieur du cylindre, au-dessus du plan \(xy\text{.}\) Calculer le flux du champ de vecteurs
\begin{gather*} \vV = x^2yz\,\vi + (yz+e^xz)\,\vj + (x^2+y)\,\vk \end{gather*}
vers l’extérieur du silo.
Réponse.
\(\pi\)

9.

Soit \(\cB\) la boule de volume \(V\) centrée au point \((x_0, y_0, z_0)\text{,}\) et soit \(\cS\) la sphère qui est le bord de \(\cB\text{.}\) Calculer le flux de \({\vF = x^2\,\vi + xy\,\vj +(3 z - yz)\,\vk}\) vers l’extérieur de \(\cB\text{.}\)
Réponse.
\((3+3x_0-y_0)\,V\)

10.

On considère le champ \({\vF = \big(1 + z^{1+z^{1+z}}\big)\,\vi + \big(1 + z^{1+z^{1+z}}\big)\,\vj + \vk}\text{.}\) Soit \(\cS\) la portion de la surface
\begin{gather*} x^2 + y^2 = 1 - z^4 \end{gather*}
se trouvant au-dessus du plan \(xy\text{.}\) Quel est le flux de \(\vF\) vers le bas, à travers \(\cS\) ?
Réponse.
\(-\pi\)

11.

Utiliser le théorème de la divergence pour calculer le flux de \({x\,\vi +y\,\vj +2z\,\vk}\) à travers la portion de l’ellipsoïde
\begin{gather*} x^2+y^2+2z^2=2 \end{gather*}
telle que \(z\geqslant 0\text{.}\) (Note : l’ellipsoïde \({\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}+\tfrac{z^2}{c^2}=1}\) a un volume égal à \(\tfrac{4}{3}\pi abc\text{.}\))
Réponse.
\(\tfrac{16}{3}\pi\)

12.

Soit \(\vF = \vr/r^3\text{,}\) où \(\vr= x\,\vi + y\,\vj + z\,\vk \) et \(r = \norm{\vr}\text{.}\)
  1. Calculer \(\vnabla \cdot \vF\text{.}\)
  2. Calculer le flux de \(\vF\) vers l’extérieur, à travers la surface sphérique \(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\text{.}\)
  3. Est-ce que les résultats des parties (a) et (b) contredisent le théorème de la divergence ? Expliquer.
  4. Soit \(\cE\) la région solide bornée par les surfaces \(z^2 - x^2 - y^2 + 1 = 0\text{,}\) \(z = 1\) et \(z = -1\text{.}\) Soit \(\sigma\) la surface qui est le bord de \(\cE\text{.}\) Calculer le flux de \(\vF\) vers l’extérieur, à travers \(\sigma\text{.}\)
  5. Soit \(\cR\) la région solide limitée par les surfaces \(z^2 - x^2 - y^2 + 4y - 3 = 0\text{,}\) \(z = 1\) et \(z = - 1\text{.}\) Soit \(\Sigma\) la surface qui est le bord de \(\cR\text{.}\) Calculer le flux de \(\vF\) vers l’extérieur, à travers \(\Sigma\text{.}\)
Réponse.
  1. \(\vnabla \cdot \vF(x,y,z)=0\) sauf à \((x,y,z)=(0,0,0)\text{,}\) où \(\vF\) n’est pas défini.
  2. \(\displaystyle 4\pi\)
  3. Non.
  4. \(\displaystyle 4\pi\)
  5. \(\displaystyle 0\)

13.

Considérer l’ellipsoïde \(\cS\) donné par \({x^2 + \tfrac{y^2}{4} +\tfrac{z^2}{4} = 1}\text{,}\) orienté par le vecteur normal qui pointe vers l’extérieur.
  1. Donner un paramétrage de \(\cS\text{.}\)
  2. Calculer le flux \(\iint_{\cS} \vF\cdot\vn \, \dee{S}\) du champ
    \begin{gather*} \vF = x\,\vi + y\,\vj + z\,\vk \end{gather*}
  3. Vérifier votre réponse de (b) avec le théorème de la divergence.
Réponse.
  1. \({\vr(\theta,\varphi) =\sin\varphi\cos\theta\,\vi +2\sin\varphi\sin\theta\,\vj +2\cos\varphi\,\vk}\text{,}\) avec \(0\leqslant\theta \lt 2\pi\) et \(0\leqslant \varphi \leqslant \pi\)
  2. \(\displaystyle 16\pi\)
  3. \(16\pi\text{,}\) à nouveau.

14.

Calculer l’intégrale de flux \(\iint_{\cS} \vF\cdot\vn \, \dee{S}\text{,}\) où
\begin{gather*} \vF = \big(x^3 + \cos(y^2)\big)\,\vi + (y^3 + ze^x)\,\vj + \big(z^2 + \arctan(xy)\big)\,\vk \end{gather*}
et \(\cS\) est la surface qui est le bord de la région solide limitée par le cylindre \(x^2 + y^2 = 2\) et les plans \(z = 0\) et \(z = 2x + 3\text{.}\) La surface est orientée positivement, c’est-à-dire que le vecteur normal pointe vers l’extérieur.
Réponse.
\(40\pi\)

15.

Trouver le flux du champ \({\vF=(x + y)\,\vi + (x + z)\,\vj + (y + z)\,\vk}\) à travers la surface cylindrique d’équation \(x^2 + z^2 = 4\text{,}\) qui s’étend de \(y = 0\) à \(y = 3\text{.}\) (Seulement la partie courbe, pas les disques à droite et à gauche.) La surface est orientée avec le vecteur normal pointant en s’éloignant de l’axe des \(y\text{.}\)
Réponse.
\(24\pi\)

16.

On considère la surface de révolution obtenue en faisant tourner la courbe \(z=1-x^4\) autour de l’axe \(z\text{.}\) Soit \(\cS\) la portion de cette surface qui se trouve au-dessus du plan \(xy\text{,}\) orientée par un vecteur normal qui pointe vers le haut. Le bord de \(\cS\) est le cercle de rayon \(1\) centré à l’origine qui se trouve sur le plan \(xy\text{.}\)
Calculer le flux du champ incompressible \({\vF = yz\,\vi + (x + z)\,\vj + (x^2 + y^2)\,\vk}\) à travers \(\cS\text{.}\)
Réponse.
\(\tfrac{\pi}{2}\)

17.

Soit \(\cS\) la portion du paraboloïde \(z = 2 - x^2 - y^2\) contenue dans le cône \(z = \sqrt{x^2+y^2}\) et orientée vers le haut. Soit
\begin{gather*} \vF = \big(\tan \sqrt{z} + \sin(y^3)\big)\,\vi + e^{-x^2}\,\vj + z\,\vk. \end{gather*}
Calculer l’intégrale \(\iint_{\cS} \vF \cdot\vn \,\dee{S}\text{.}\)
Réponse.
\(\tfrac{3}{2}\pi\)

18.

Calculer l’intégrale de surface \(\iint_{\cS} \vF\cdot\vn \,\dee{S}\text{,}\) où \({\vF = (\cos z + xy^2)\,\vi + xe^{-z}\,\vj + (\sin y + x^2 z)\,\vk}\) et \(\cS\) est le bord de la région limitée par le paraboloïde \(z = x^2 + y^2\) et le plan \(z = 4\text{,}\) orientée vers l’extérieur.
Réponse.
\(\tfrac{32}{3}\pi\)

19.

Soit \(\cS\) la portion de la sphère \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) comprise entre les plans \(z = 1\) et \(z = 0\text{,}\) orientée vers l’extérieur. Soit
\begin{gather*} \vF = (e^y + xz)\,\vi + (zy + \sin x)\,\vj + (z^2 - 1)\,\vk. \end{gather*}
Calculer l’intégrale de flux \(\iint_{\cS} \vF\cdot\vn \,\dee{S}\text{.}\)
Réponse.
\(3\pi\)

20.

Soit \(\cB\) la région solide comprise entre les plans \(x=-1\text{,}\) \(x=1\text{,}\) \(y=0\text{,}\) \(y=2\) et bornée en dessous par le plan \(z=0\) et au-dessus par le plan \(z+y=3\text{.}\) Soit \(\cS\) le bord de \(\cB\text{.}\) Calculer le flux du champ
\begin{gather*} \vF = \left(x^2 z +\cos \pi y\right)\,\vi +\left(yz +\sin \pi z\right)\,\vj +(x-y^2)\,\vk \end{gather*}
à travers \(\cS\text{.}\)
Réponse.
\(\tfrac{26}{3}\)

21.

Soit \(\cS\) l’hémisphère \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\text{,}\) \(z\geqslant 0\text{,}\) orientée par le vecteur normal qui s’éloigne de l’origine. Calculer l’intégrale
\begin{gather*} \iint_{\cS} \vF\cdot\vn \, \dee{S} \end{gather*}
où
\begin{gather*} \vF = \left(x + \cos(z^2)\right)\,\vi + \left(y + \ln(1 + x^2 + z^2)\right)\,\vj + \sqrt{x^2 + y^2}\,\vk \end{gather*}
Réponse.
\(2\pi\)

22.

Soit \(\cE\) la région solide limitée par le plan \(z = 4\) et le paraboloïde \(z = x^2 + y^2\text{.}\) Soit par ailleurs
\begin{gather*} \vF = \Big(-\frac{1}{3}x^3 + e^{z^2}\Big)\,\vi + \Big(-\frac{1}{3}y^3 + xe^z\Big)\,\vj + 4z\,\vk. \end{gather*}
  1. Calculer le flux de \(\vF\) vers l’extérieur à travers le bord de \(\cE\text{.}\)
  2. Soit \(\cS\) la portion du paraboloïde \(z = x^2 + y^2\) en dessous du plan \(z = 4\) orientée de sorte que le vecteur \(\vn\) ait une composante \(\vk\) positive. Calculer le flux de \(\vF\) à travers \(\cS\text{.}\)
Réponse.
  1. \(\displaystyle \tfrac{64}{3}\pi\)
  2. \(\displaystyle \tfrac{128}{3}\pi\)

23.

Soit le champ de vecteurs
\begin{gather*} \vF = \frac{x\,\vi +y\,\vj +z\,\vk } {{\big[x^2 + y^2 + z^2\big]}^{3/2}}. \end{gather*}
  1. Calculer \(\vnabla\cdot\vF\text{.}\)
  2. Soit \(\cS_1\) la sphère \({ x^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 9}\) orientée vers l’extérieur. Calculer \(\iint_{\cS_1} \vF\cdot\vn \,\dee{S}\text{.}\)
  3. Soit \(\cS_2\) la sphère
    \begin{gather*} x^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 1 \end{gather*}
    orientée vers l’extérieur. Calculer \(\iint_{\cS_2} \vF\cdot\vn \,\dee{S}\text{.}\)
  4. Est-ce que les réponses de (b) et (c) coïncident ? Expliquer mathématiquement votre réponse.
Réponse.
  1. \(\vnabla\cdot\vF=0\) si \((x,y,z)\ne(0,0,0)\text{,}\) et elle n’est pas définie si \((x,y,z)=(0,0,0)\text{.}\)
  2. \(4\pi\text{.}\)
  3. \(0\text{.}\)
  4. Les intégrales de flux \(\iint_{\cS_1} \vF\cdot\vn \,\dee{S}\) et \(\iint_{\cS_2} \vF\cdot\vn \,\dee{S}\) sont différentes, à cause du point \((0,0,0)\text{,}\) où \(\vnabla\cdot\vF\) n’est pas bien définie et l’origine est contenue à l’intérieur de la région limitée par \(\cS_1\) mais pas à l’intérieur de celle limitée par \(\cS_2\text{.}\)

24.

Soit \(\vF\) le champ de vecteurs
\begin{gather*} \vF = \left(y^3 z + 2x\right)\,\vi +\left(3y - e^{\sin z}\right)\,\vj + \left(e^{x^2+y^2}+ z\right)\,\vk \end{gather*}
Calculer l’intégrale de flux \(\iint_{\cS} \vF\cdot\vn \,\dee{S}\text{,}\) où \(\cS\) est la surface qui délimite la région solide
\begin{gather*} \cE\ :\ 0 \leqslant x \leqslant 2,\qquad 0 \leqslant y \leqslant 2,\qquad 0 \leqslant z \leqslant 2+ y, \end{gather*}
avec un vecteur normal pointant vers l’extérieur.
Réponse.
\(72\)

25.

Considérer le champ de vecteurs
\begin{gather*} \vF = z \arctan(y^2)\,\vi + z^3 \ln(x^2 + 1)\,\vj + 3z\,\vk. \end{gather*}
Soit \(\cS\) la portion de la sphère \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) qui se trouve au-dessus du plan \(z = 1\text{,}\) orientée vers le bas.
  1. Calculer la divergence de \(\vF\text{.}\)
  2. Calculer l’intégrale de flux \(\iint_{\cS} \vF \cdot\vn \,\dee{S}\text{.}\)
Réponse.
  1. \(\displaystyle 3\)
  2. \(\displaystyle -14\pi\)

26.

Soit \(\cS\) la sphère \(x^2+y^2+z^2=3\text{,}\) orientée vers l’intérieur. Calculer l’intégrale de flux \(\iint_{\cS}\vF\cdot\vn \,\dee{S}\text{,}\) où \({\vF = (xy^2 + y^4z^6)\,\vi + (yz^2+x^4z)\,\vj + (zx^2+xy^4)\,\vk}\text{.}\)
Réponse.
\(-\tfrac{4\pi}{5}\, 3^{5/2}\)

27.

Considérer le champ de vecteurs \({\vF =-2xy\,\vi +\left(y^2+\sin(xz)\right)\,\vj +(x^2+y^2)\,\vk}\text{.}\)
  1. Calculer \(\vnabla\cdot \vF\text{.}\)
  2. Trouver le flux de \(\vF\) à travers la surface \(\cS\) définie par
    \begin{gather*} x^2+y^2+(z-12)^2=13^2,\qquad z\geqslant 0, \end{gather*}
    en utilisant le vecteur normal qui pointe vers l’extérieur.
Réponse.
  1. \(\displaystyle 0\)
  2. \(\displaystyle \tfrac{625}{2}\pi\)

28.

Soit \(\cS\) la portion de l’hyperboloïde \(x^2 + y^2 -z^2 = 1\) se trouvant entre les plans \(z=-1\) et \(z=1\text{.}\) Trouver le flux de \({\vF = (x+e^{yz})\,\vi +\left(2yz+\sin(xz)\right)\,\vj +(xy-z-z^2)\,\vk}\) vers l’extérieur de \(\cS\text{.}\)
Réponse.
\(4\pi\)

29.

Soit \(\vF\) le champ de vecteurs \({\vF=(x^2-y-1)\,\vi +(e^{\cos y}+z^3)\,\vj +(2xz+z^5)\,\vk}\text{.}\) Calculer \(\iint_{\cS}\vnabla\times \vF\cdot\vn \,\dee{S}\text{,}\) où \(\cS\) est la portion de l’ellipsoïde \(x^2+y^2+2z^2=1\) vérifiant \(z\geqslant 0\text{,}\) orientée vers le haut.
Réponse.
\(\pi\)

30.

Soit \(\cS\) la portion de la sphère \(x^2+y^2+(z-1)^2=4\) qui se trouve au-dessus du plan \(xy\text{.}\) Trouver le flux de \({\vF=(x^2+e^{y^2})\,\vi +(e^{x^2}+y^2)\,\vj +(4+5x)\,\vk}\) vers l’extérieur à travers \(\cS\text{.}\)
Réponse.
\(12\pi\)

31.

Calculer le flux de \({\vF=xy^2\,\vi +x^2y\,\vj +\vk}\) vers l’extérieur, à travers la surface
\begin{gather*} x^2+y^2+z^2=4,\qquad z\geqslant 0. \end{gather*}
Réponse.
\(\tfrac{188}{15}\pi\approx39.37\)

32.

Soit \(\cD\) le cylindre plein \(x^2+y^2\leqslant 1\text{,}\) \(0\leqslant z\leqslant 5\text{.}\) Calculer le flux du champ de vecteurs
\begin{gather*} \vF=(x+xye^z)\,\vi +\half y^2ze^z\,\vj +(3z-yze^z)\,\vk \end{gather*}
vers l’extérieur, à travers la portion courbe du bord de \(\cD\text{.}\)
Réponse.
\(5\pi\)

33.

Trouver le flux de \({\vF=(y+xz)\,\vi +(y+yz)\,\vj -(2x+z^2)\,\vk}\) vers le haut, à travers la portion de la sphère \(x^2+y^2+z^2=a^2\) qui se trouve dans le premier octant.
Réponse.
\(\left(\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{1}{3}\right)a^3\)

34.

Soit \({\vF=(x-yz)\,\vi +(y+xz)\,\vj +(z+2xy)\,\vk}\text{,}\) puis
  • \(\cS_1\) la portion du cylindre \(x^2+y^2=2\) qui se trouve à l’intérieur de la sphère \(x^2+y^2+z^2=4\text{;}\)
  • \(\cS_2\) la portion de la sphère \(x^2+y^2+z^2=4\) qui se trouve à l’extérieur du cylindre \(x^2+y^2=2\text{;}\)
  • \(\cV\) la région solide limitée par \(\cS_1\) et \(\cS_2\text{.}\)
Calculer
  1. \(\iint_{\cS_1}\vF\cdot \vn \,\dee{S}\) avec \(\vn \) pointant vers l’axe des \(z\text{;}\)
  2. \(\iiint_{\cV}\vnabla\cdot \vF\,\dee{V}\text{;}\)
  3. \(\iint_{\cS_2}\vF\cdot \vn \,\dee{S}\) avec \(\vn \) pointant vers l’extérieur.
Utiliser le théorème de la divergence pour répondre à au moins une des parties (a), (b) ou (c).
Réponse.
  1. \(\displaystyle -8\sqrt{2}\pi\)
  2. \(\displaystyle 8\sqrt{2}\pi\)
  3. \(\displaystyle 16\sqrt{2}\pi\)

Pour aller plus loin.

35.

Soit \(\vE(\vr)\) le champ électrique dû à une configuration de charges électriques de densité (de charge) \(\rho(\vr)\text{.}\) La loi de Gauss dit que si \(\cV\) est un solide dans \(\R^3\) de bord (une surface) \(\partial \cV\text{,}\) alors le flux électrique
\begin{gather*} \iint_{\partial \cV}\vE\cdot\vn \, \dee{S}=4\pi Q \qquad \text{ où } \qquad Q=\iiint_{\cV}\rho\ \dee{V} \end{gather*}
est la charge totale dans \(\cV\text{.}\) Ici, comme d’habitude, \(\vn \) est le vecteur normal qui pointe vers l’extérieur. Montrer que
\begin{gather*} \vnabla\cdot\vE(\vr)=4\pi \rho(\vr) \end{gather*}
pour tout \(\vr\) dans \(\R^3\text{.}\) Ceci est l’une des équations de Maxwell. Prendre pour acquis que \(\vnabla\cdot\vE(\vr)\) et \(\rho(\vr)\) sont bien définis et continus partout.

36.

Soit \(\cV\) une région solide dans \(\R^3\) dont le bord est \(\partial \cV\text{.}\) Montrer que
\begin{gather*} \iint_{\partial \cV}\vr\cdot\vn \,\dee{S}=3\,\text{Volume}(\cV), \end{gather*}
où \(\vr=x\,\vi +y\,\vj +z\,\vk \) et où, comme d’habitude, \(\vn \) est le vecteur normal à \(\partial \cV\) qui pointe vers l’extérieur. Expliquer géométriquement ce résultat.

37.

Soit \(\cS\) la sphère de rayon \(3\) centrée à l’origine, orientée vers l’extérieur, et soit \({\vF = (x + z)\,\vk}\text{.}\)
  1. Calculer (avec la définition) le flux de \(\vF\) à travers \(\cS\)
    \begin{gather*} \iint_{\cS} \vF \cdot \vn \,\dee{S}, \end{gather*}
    c’est-à-dire calculer le flux en évaluant l’intégrale de surface directement.
  2. Calculer le même flux avec le théorème de la divergence.
Réponse.
\(36\pi\) (par les deux méthodes)

38.

Considérer le cube de côté \(1\) qui se trouve dans le premier octant (\(x \geqslant 0\text{,}\) \(y \geqslant 0\text{,}\) \(z \geqslant 0\)), ayant un sommet à l’origine et le sommet opposé au point \((1, 1, 1)\text{.}\) Une de ses faces se trouve dans le plan \(x = 0\text{,}\) une autre dans le plan \(y = 0\) et une troisième dans le plan \(z = 0\text{.}\) Les trois autres faces se trouvent dans les plans \(x = 1\text{,}\) \(y = 1\) et \(z = 1\text{.}\) Soit \(\cS\) la surface ouverte formée par les cinq faces du cube qui ne se trouvent pas dans le plan \(z = 0\text{.}\) La surface \(\cS\) est orientée de sorte que le vecteur normal unitaire pointe vers l’extérieur du cube. Trouver la valeur de
\begin{gather*} I=\iint_{\cS} \vF \cdot\vn \, \dee{S} \end{gather*}
où \(\vF\) est le champ de vecteurs
\begin{gather*} \vF = \big(y \cos(y^2) + z - 1\big)\,\vi + \left(\frac{z}{x+1}+1\right)\vj + xy e^{z^2}\,\vk. \end{gather*}
Réponse.
\(\tfrac{e}{4}\)

39.

  1. Trouver un vecteur normal unitaire à la surface \(z = xy\) pointant vers le haut, au point \((1, 1, 1)\text{.}\)
  2. Considérer maintenant \(\cS\text{,}\) la portion de la surface \(z = xy\text{,}\) qui se trouve à l’intérieur du cylindre \(x^2 + y^2 = 9\text{.}\) Calculer le flux vers le haut du champ \({\vF = y\,\vi + x\,\vj + 3\,\vk}\) à travers \(\cS\text{.}\)
  3. Trouver le flux de \(\vF\) à travers la surface cylindrique \(x^2 + y^2 = 9\) entre \(z = xy\) et \(z = 10\text{.}\) L’orientation est celle qui pointe en s’éloignant de l’axe des \(z\text{.}\)
Réponse.
  1. \(\displaystyle \tfrac{1}{\sqrt{3}}(-\vi-\vj+\vk)\)
  2. \(\displaystyle -\tfrac{27\pi}{2}\)
  3. \(\displaystyle -\tfrac{81\pi}{2}\)

40.

  1. Trouver la divergence du champ \({\vF = (x + \sin y)\,\vi + (z + y)\,\vj + z^2\,\vk}\text{.}\)
  2. Trouver le flux de \(\vF\) à travers l’hémisphère \(x^2 + y^2 + z^2 = 25\text{,}\) \(z \geqslant 0\text{,}\) orienté vers le haut.
  3. Donner une surface fermée \(\cS\text{,}\) telle que \(\iint_{\cS}\vF \cdot\vn \,\dee{S}\) soit égale à \(-9\text{.}\)
Réponse.
  1. \(\displaystyle \vnabla\cdot\vF =2+2z\)
  2. \(\displaystyle \tfrac{23}{6}\pi\cdot 5^3 =\tfrac{2875}{6}\pi\)
  3. Par exemple, le bord du cube de côté \(1\) centré en \(\left(0,0, -\tfrac{11}{2}\right)\text{,}\) orienté vers l’extérieur.

41.

Calculer les intégrales de surface (méthode au choix).
  1. \(\iint_{\cS} z^2\,\dee{S}\text{,}\) si \(\cS\) est la portion du cône \(x^2 + y^2 = 4z^2\) où \(0 \leqslant x \leqslant y\) et \(0 \leqslant z \leqslant 1\text{.}\)
  2. \(\iint_{\cS} \vF \cdot \vn \,\dee{S}\text{,}\) si \(\vF = z\,\vk\) et \(\cS\) est le rectangle de sommets \((0, 2, 0)\text{,}\) \((0, 0, 4)\text{,}\) \((5, 2, 0)\) et \((5, 0, 4)\text{,}\) orienté vers le haut.
  3. \(\iint_{\cS} \vF \cdot \vn \,\dee{S}\text{,}\) où \({\vF = (y - z^2 )\,\vi + (z - x^2)\,\vj + z^2\,\vk}\) et \(\cS\) est la surface qui délimite la boîte \(0 \leqslant x \leqslant 1\text{,}\) \(0 \leqslant y \leqslant 2\text{,}\) \(0 \leqslant z \leqslant 3\text{,}\) avec le vecteur normal pointant vers l’extérieur.
Réponse.
  1. \(\displaystyle \tfrac{\sqrt{5}\pi}{8}\)
  2. \(\displaystyle 20\)
  3. \(\displaystyle 18\)

42.

Soit \(\sigma_1\) la surface ouverte donnée par \(z = 1 - x^2 - y^2\text{,}\) \(z \geqslant 0\text{.}\) Soit \(\sigma_2\) la surface ouverte donnée par \(z = x^2 + y^2 - 1\text{,}\) \(z \leqslant 0\text{.}\) Soit \(\sigma_3\) la surface plane donnée par \(z = 0\text{,}\) \(x^2 + y^2 \leqslant 1\text{.}\) Considérer le champ de vecteurs \({\vF = [ a ( y^2 + z^2 ) + bxz ]\,\vi + [ c ( x^2 + z^2 ) + dyz ]\,\vj + x^2\,\vk}\text{,}\) où \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c\) et \(d\) sont des constantes.
  1. Trouver le flux de \(\vF\) à travers \(\sigma_1\) vers le haut.
  2. Trouver les valeurs des constantes \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c\) et \(d\) telles que le flux de \(\vF\) vers l’extérieur à travers la surface fermée \(\sigma_1 \cup \sigma_3\) soit nul.
  3. Trouver les valeurs des constantes \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c\) et \(d\) telles que le flux de \(\vF\) vers l’extérieur à travers la surface fermée \(\sigma_1 \cup \sigma_2\) soit nul.
Réponse.
  1. \(\displaystyle \tfrac{\pi}{4} +\tfrac{\pi(b+d)}{6}\)
  2. \(\iint_{\sigma_1\cup\sigma_3} \vF\cdot\vn \,\dee{S}\) est nulle si et seulement si \(d=-b\)
  3. \(\iint_{\sigma_1\cup\sigma_2} \vF\cdot\vn \,\dee{S}\) est nulle pour toutes valeurs de \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c\) et \(d\)

43.

Soit \(\cS\) l’ellipsoïde \(x^2+2y^2+3z^2=16\) et \(\vn\) son vecteur normal unitaire pointant vers l’extérieur.
  1. Trouver \(\iint_{\cS} \vF\cdot\vn \,\dee{S}\) lorsque \({\vF=\dfrac{(x-2)\,\vi+(y-1)\,\vj+(z-1)\,\vk}{{\big[(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\big]}^{3/2}}}\text{;}\)
  2. Trouver \(\iint_{\cS} \vG\cdot\vn \,\dee{S}\) lorsque \({\vG=\dfrac{(x-3)\,\vi+(y-2)\,\vj+(z-2)\,\vk}{{\big[(x-3)^2+(y-2)^2+(z-2)^2\big]}^{3/2}}}\text{.}\)
Réponse.
  1. \(\displaystyle 4\pi\)
  2. \(\displaystyle 0\)

44.

Soit \(\Om\subset\R^3\) une région bornée par une surface lisse \(\partial\Om\) et de vecteur normal unitaire \(\vn \text{.}\) Montrer que pour tout champ de vecteurs \(\vF\) de classe \(C^1\) sur \(\Om\cup\partial\Om\text{,}\)
\begin{gather*} \iiint_\Om \vnabla\times\vF\,\dee{V} = -\iint_{\partial\Om} \vF\times\vn \,\dee{S}. \end{gather*}

45.

Rappelons que si \(\cS\) est une surface fermée lisse de vecteur normal unitaire \(\vn \text{,}\) alors pour toute fonction lisse \(p(x,y,z)\) sur \(\R^3\text{,}\) on a
\begin{gather*} \iint_{\cS} p\vn \ \dee{S}=\iiint_{\cE} \vnabla p\ \dee{V}, \end{gather*}
où \(\cE\) est la région solide bornée par \(\cS\text{.}\) Montrer qu’en conséquence la force totale exercée sur la surface d’un solide immergé dans un gaz de pression constante est nulle. La pression agit dans la direction de la normale à la surface.

46.

Soit \(\vF\) un champ de vecteurs lisse dans \(\R^3\) tel que le flux de \(\vF\) vers l’extérieur de la sphère \(x^2+y^2+z^2=a^2\) est égal à \(\pi(a^3+2a^4)\) pour tout \(a \gt 0\text{.}\) Trouver la valeur de \(\vnabla\cdot \vF(0,0,0)\text{.}\)
Réponse.
\(\tfrac{3}{4}\)

47.

Soit \({\vF= (x^2+y^2+z^2)\,\vi +(e^{x^2}+y^2)\,\vj +(3+x+z)\,\vk}\) et soit \(\cS\) la portion de la surface \(x^2+y^2+z^2=2az+3a^2\) telle que \(z\geqslant 0\text{,}\) orientée en s’éloignant de l’origine. Ici, \(a \gt 0\) est une constante. Calculer le flux de \(\vF\) à travers \(\cS\text{.}\)
Réponse.
\(9\pi a^3+9\pi a^2\)

48.

Soit \(u=u(x,y,z)\) une solution de l’équation de Laplace
\begin{gather*} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0, \end{gather*}
dans \(\R^3\text{.}\) Soit \(\cR\) un solide lisse dans \(\R^3\text{.}\)
  1. Montrer que le flux total de \(\vF = \vnabla u\) vers l’extérieur à travers le bord de \(\cR\) est nul.
  2. Montrer que le flux total de \(\vG = u\vnabla u\) vers l’extérieur à travers le bord de \(\cR\) vaut \(\iiint_\cR \Big[\Big(\frac{\partial u}{\partial x}\Big)^2 + \Big(\frac{\partial u}{\partial y}\Big)^2 + \Big(\frac{\partial u}{\partial z}\Big)^2\Big]\,\dee{V} \text{.}\)

49.

Soit \(\cR\) la portion du cylindre \(x^2 + (y-1)^2 \leqslant 1\) telle que \(0\leqslant z \leqslant y^2\text{;}\) soit \(\cS\) le bord de \(\cR\text{.}\) Étant donné \({\vF = x^2\,\vi + 2y\,\vj - 2z\,\vk}\text{,}\)
  1. Trouver le flux total de \(\vF\) vers l’extérieur à travers \(\cS\text{.}\)
  2. Trouver le flux total de \(\vF\) vers l’extérieur à travers la paroi verticale de \(\cS\text{.}\)
    Vous pouvez utiliser \({\int_0^\pi \sin^{n}\theta\,\dee{\theta} = \tfrac{n-1}{ n}\int_0^\pi \sin^{n-2}\theta\,\dee{\theta}}\) pour \(n=2,3,4,\ldots\text{.}\)
Réponse.
  1. \(\displaystyle 0\)
  2. \(\displaystyle \tfrac{15}{2}\pi\)

50.

Une surface lisse \(\cS\) se trouve au-dessus du plan \(z=0\) et a pour bord le cercle \(x^2+y^2=4y\) dans le plan \(z=0\text{.}\) Ce cercle délimite aussi un disque \(\cD\) dans ce plan. Le volume de la région solide \(\cR\) limitée par \(\cS\) et \(\cD\) est de \(10\) unités cubes. Trouver le flux de
\begin{gather*} \vF=(x+x^2y)\,\vi +(y-xy^2)\,\vj +(z+2x+3y)\,\vk \end{gather*}
à travers \(\cS\) vers l’extérieur de \(\cR\text{.}\)
Réponse.
\(30+24\pi\)
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