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Section 4.6 Surfaces

Pour plusieurs applications, nous devons calculer des intégrales de surface. Un exemple évident est le calcul de l’aire d’une surface. Un peu plus généralement, on peut imaginer une surface mince faite d’un matériau de densité constante. Si l’on veut calculer la masse, le centre de gravité ou les moments d’inertie, on devra additionner de petits éléments de masse sur la surface. Un peu plus généralement, on peut vouloir calculer le flux d’un fluide à travers une surface donnée. Afin d’attaquer tous ces problèmes, on doit, dans un premier temps, spécifier la surface convenablement.

Sous-section Surfaces paramétrées

Il y a trois façons usuelles de spécifier une surface dans l’espace tridimensionnel.
  1. Graphe d’une fonction. Probablement la façon la plus commune, c’est ce que nous avons fait à la section 2.1. Il s’agit de donner une équation de la forme
    \begin{gather*} z = f(x,y),\qquad (x,y)\in\cD\subset\R^2. \end{gather*}
    Par exemple, si la surface est la moitié supérieure de la sphère de rayon 1 centrée à l’origine, on a
    \begin{gather*} z = \sqrt{1-x^2-y^2},\qquad \text{avec } x^2+y^2 \leqslant 1. \end{gather*}
  2. Implicitement. Nous l’avons aussi fait. Il s’agit de spécifier la surface comme l’ensemble de niveau d’une fonction de trois variables. Ceci revient à dire que la surface est l’ensemble des points \((x,y,z)\) qui vérifient l’équation \(G(x,y,z)=K\text{.}\) Par exemple, la sphère de rayon 1 centrée à l’origine est l’ensemble des points vérifiant
    \begin{gather*} x^2+y^2+z^2=1. \end{gather*}
    Nous reviendrons sur cette surface à l’exemple 4.6.2 plus bas.
  3. Un paramétrage, l’image d’une fonction. Il s’agit probablement de la façon la plus utile de spécifier une surface. Tout comme un chemin (une fonction d’une variable qui renvoie des points dans \(\R^2\) ou \(\R^3\)) sert à paramétrer une courbe, on peut obtenir une surface comme l’image d’une fonction de deux variables :
    \begin{align*} \vr \amp : \cD\subset\R^2 \rightarrow \R^3\\ \amp (u,v) \in\cD \mapsto \vr(u,v) =x(u,v)\,\vi +y(u,v)\,\vj + z(u,v)\, \vk. \end{align*}
    On dit que la surface est paramétrée par \(\vr\). Chaque point de la surface est étiqueté par les valeurs des paramètres \(u\) et \(v\text{.}\)

Exemple 4.6.1.

Une façon simple, voire triviale, de paramétrer une surface qui est le graphe
\begin{gather*} z = f(x,y),\qquad (x,y)\in\cD\subset\R^2 \end{gather*}
est de choisir \(x\) et \(y\) comme paramètres, c’est-à-dire de choisir
\begin{align*} \vr(u,v) &= u\, \vi + v\,\vj + f(u,v)\, \vk, \quad (u,v)\in\cD\\ \text{ ou }\qquad \vr(x,y) &= x\, \vi + y\,\vj + f(x,y)\, \vk, \quad (x,y)\in\cD. \end{align*}
Voyons quelque chose d’un peu plus substantiel.

Exemple 4.6.2. Sphère.

La sphère de rayon \(1\) centrée à l’origine est l’ensemble des points \((x,y,z)\) vérifiant
\begin{gather*} G(x,y,z)= x^2+y^2+z^2=1. \end{gather*}
Nous ne pouvons pas exprimer cette surface comme le graphe d’une fonction puisque, pour chaque \((x,y)\) vérifiant \(x^2+y^2 \leqslant 1\text{,}\) il existe deux valeurs de \(z\) telles que \(x^2+y^2+z^2=1\text{,}\) à savoir
\begin{gather*} z=\pm\sqrt{1-x^2-y^2}. \end{gather*}
Cependant, localement, cette surface est le graphe d’une fonction. Ceci veut dire que, pour tout point \((x_0, y_0, z_0)\) sur la sphère, les points sur cette surface qui sont suffisamment près de \((x_0, y_0, z_0)\) peuvent être exprimés sous une des formes \(z=f(x,y)\text{,}\) \(x=g(y,z)\) ou \(y=h(x,z)\text{.}\) Par exemple, la portion de la sphère qui se trouve à une distance inférieure à \(\sqrt{2}\) du point \((0,0,1)\) est
\begin{align*} &\Set{(x,y,z)}{ x^2+y^2+z^2=1,\ \norm{(x,y,z) - (0,0,1)} \lt \sqrt{2}}\\ &=\Set{(x,y,z)}{ x^2+y^2+z^2=1,\ x^2+y^2+(z-1)^2 \lt 2}\\ &=\Set{(x,y,z)}{ x^2+y^2+z^2=1,\ x^2+y^2+z^2-2z+1 \lt 2}\\ &=\Set{(x,y,z)}{ x^2+y^2+z^2=1,\ z \gt 0}\\ &=\Set{(x,y,z)}{ z=\sqrt{1-x^2-y^2},\ x^2+y^2 \lt 1}. \end{align*}
Ceci est illustré dans la figure ci-contre, qui montre la section de la sphère d’équation \(x^2+y^2+z^2=1\) par le plan \(y=0\text{,}\) ainsi que la section par \(y=0\) de l’ensemble des points qui sont à une distance inférieure à \(\sqrt{2}\) de \((0,0,1)\) (ce sont les points à l’intérieur du cercle).
De la même façon, comme cela est schématisé dans la figure ci-bas, la portion de la sphère qui se trouve à une distance inférieure à \(\sqrt{2}\) du point \((1,0,0)\) est
\begin{align*} &\Set{(x,y,z)}{ x^2+y^2+z^2=1,\ \norm{(x,y,z) - (1,0,0)} \lt \sqrt{2}}\\ &=\Set{(x,y,z)}{ x^2+y^2+z^2=1,\ (x-1)^2+y^2+z^2 \lt 2}\\ &=\Set{(x,y,z)}{ x^2+y^2+z^2=1,\ x^2-2x+1+y^2+z^2 \lt 2}\\ &=\Set{(x,y,z)}{ x^2+y^2+z^2=1,\ x \gt 0}\\ &=\Set{(x,y,z)}{ x=\sqrt{1-y^2-z^2},\ y^2+z^2 \lt 1}. \end{align*}
Ceci est illustré dans la figure ci-contre, qui montre la section de la sphère d’équation \(x^2+y^2+z^2=1\) par le plan \(y=0\text{,}\) ainsi que la section par ce même plan de l’ensemble des points à une distance de \((1,0,0)\) inférieure à \(\sqrt{2}\) (ce sont les points dans le cercle pointillé).
Nous pouvons obtenir un paramétrage de la sphère unité avec les coordonnées sphériques au moyen des formules
\begin{align*} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta,\\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta,\\ z&=\rho\cos\varphi. \end{align*}
Les points sur la sphère \(x^2+y^2+z^2=1\) sont exactement les points vérifiant \({\rho=1}\text{,}\) de sorte que nous avons un paramétrage
\begin{gather*} \vr(\theta,\varphi) =\sin\varphi\cos\theta\,\vi + \sin\varphi\sin\theta\,\vj+ \cos\varphi\,\vk,\qquad 0\leqslant\theta\leqslant 2\pi,\ 0\leqslant\varphi\leqslant\pi. \end{gather*}

Exemple 4.6.3. Cylindre.

La surface \(x^2+y^2=1\) est un cylindre infini. Une portion est esquissée ci-contre.
Remarquons que la section de ce cylindre par le plan \(Oxy\text{,}\) et en fait par n’importe quel plan \(z=c\text{,}\) est le cercle \(x^2+y^2=1\text{.}\) Nous pouvons en donner un paramétrage en posant \(x=\cos\theta\text{,}\) \(y=\sin\theta\text{,}\) de sorte que la figure en entier peut être paramétrée avec les paramètres \(\theta\) et \(z\) comme
\begin{gather*} \vr(\theta,z) = \cos\theta\, \vi + \sin\theta\,\vj + z\, \vk, \qquad 0\leqslant\theta \leqslant 2\pi,\ z\in\R. \end{gather*}

Exemple 4.6.4. Surface de révolution.

Dans cet exemple, nous allons donner un paramétrage d’une surface de révolution. Notre axe de révolution sera l’axe des \(z\text{.}\) Plus précisément, nous nous intéressons à la surface obtenue en faisant tourner la courbe du plan \(Oyz\text{,}\)
\begin{gather*} z=g(y)=e^y, \qquad 0\leqslant y\leqslant 1, \end{gather*}
autour de l’axe \(Oz\text{.}\) La même procédure peut être utilisée pour obtenir des paramétrages de surfaces de révolution autour d’autres axes.
Commençons par esquisser la courbe, il s’agit de la courbe rouge dans la figure ci-contre. Concentrons-nous sur un point spécifique de la courbe pendant la révolution, disons le point bleu, de coordonnées \((0,Y,e^Y)\text{.}\)
Lorsque notre courbe tourne autour de l’axe des \(z\text{,}\) le point bleu décrit un cercle. Celui-ci se trouve sur le plan horizontal \(z=e^Y\text{,}\) est centré à l’axe des \(z\) et a pour rayon \(Y\text{.}\) Nous pouvons paramétrer facilement le cercle en question avec l’angle de révolution, disons \(\theta\) comme paramètre.
Les coordonnées du point rouge sont \(\left( Y\sin\theta,\,Y\cos\theta,\,e^Y\right) \text{.}\) Ceci donne aussi un paramétrage de la surface de révolution.
\begin{align*} x(Y,\theta) & = Y\sin\theta,\\ y(Y,\theta) & = Y\cos\theta,\\ z(Y,\theta) & = e^Y,\\ &0\leqslant Y\leqslant 1,\qquad 0\leqslant\theta \leqslant 2\pi. \end{align*}
Remarquons, pour des fins de vérification, que
  • lorsque \(\theta=0\text{,}\)
    \begin{gather*} \left( x(Y,0),\,y(Y,0),\,z(Y,0)\right) =(0,Y,e^Y) \end{gather*}
    parcourt la courbe \(z=g(y)\text{,}\) \(0\leqslant y\leqslant 1\text{,}\) lorsque \(Y\) vérifie \(0\leqslant Y\leqslant 1\text{,}\) et que,
  • pour toute valeur fixe de \(Y\) vérifiant \(0\leqslant Y\leqslant 1\text{,}\) \(\left( x(Y,\theta),\,y(Y,\theta),\,z(Y,\theta)\right) \) parcourt le cercle \(x^2+y^2=Y^2\) du plan \(z=e^Y\text{,}\) lorsque \(\theta\) vérifie \(0\leqslant\theta \leqslant 2\pi\text{.}\)
Notons aussi que
\begin{gather*} x(Y,\theta)^2 + y(Y,\theta)^2 = Y^2, \end{gather*}
de sorte que
\begin{gather*} Y=\sqrt{x(Y,\theta)^2 + y(Y,\theta)^2}, \end{gather*}
et que
\begin{gather*} z(Y,\theta) =e^{Y} = e^{ \sqrt{x(Y,\theta)^2 + y(Y,\theta)^2} }. \end{gather*}
Ceci veut dire que la surface de révolution est contenue dans la surface infinie
\begin{gather*} z=e^{\sqrt{x^2+y^2}}. \end{gather*}
Ayant à l’esprit que \(0\leqslant Y\leqslant 1\text{,}\) nous avons que \(1\leqslant z=e^Y \leqslant e\text{.}\) La surface de révolution est
\begin{gather*} z=e^{\sqrt{x^2+y^2}}, \qquad 1\leqslant z\leqslant e. \end{gather*}
Finalement, voici une esquisse de la portion de notre surface qui se trouve dans le premier octant, \(x,y,z\geqslant 0\text{.}\)
La même technique peut être utilisée pour obtenir un paramétrage de la surface de révolution obtenue en faisant tourner une courbe plane (peut-être elle-même paramétrée!) autour d’un axe quelconque.

Exemple 4.6.5. Tore.

Dans cet exemple, nous allons paramétrer la surface d’un beigne.
Le nom formel pour un « beigne » est un « tore ». Notre stratégie sera de paramétrer d’abord sa section dans la moitié droite du plan \(Oyz\text{,}\) puis nous construirons le tore complet en faisant tourner ce cercle autour de l’axe des \(z\text{.}\) Le cercle en question est esquissé ci-contre.
Nous prendrons pour acquis que le centre du cercle se trouve à une distance \(R\) de l’axe \(Oz\) et que le cercle a lui-même un rayon \(r\text{.}\) Ainsi, le point rouge se trouve à
\begin{align*} x&=0,\\ y&= R + r\cos\theta,\\ z&= r\sin\theta. \end{align*}
En particulier, le point rouge se trouve à une distance \(r\sin\theta\) au-dessus du plan \(Oxy\) et à une distance \(R + r\cos\theta\) de l’axe \(Oz\text{.}\)
Ainsi, quand on le fait tourner autour de l’axe \(Oz\text{,}\) le point rouge décrit un cercle, comme esquissé ci-contre.
Le cercle en question est contenu dans le plan \(z=r\sin\theta\text{,}\) son centre se trouve sur l’axe \(Oz\) et a un rayon \(\rho=R + r\cos\theta\text{.}\)
Nous pouvons paramétrer ce cercle de la façon usuelle. Voici une vue d’en haut du cercle, avec le paramètre nommé \(\psi\text{.}\)
Ainsi, nous avons un paramétrage du cercle décrit par le point rouge :
\begin{align*} x &= \rho\cos\psi = (R + r\cos\theta)\cos\psi,\\ y &= \rho\sin\psi = (R + r\cos\theta)\sin\psi,\\ z &= r\sin\theta, \end{align*}
ou encore
\begin{align*} &\vr(\theta,\psi) = (R + r\cos\theta)\cos\psi \,\vi + (R + r\cos\theta)\sin\psi \,\vj + r\sin\theta\,\vk,\\ & 0\leqslant \theta,\psi \leqslant 2\pi. \end{align*}

À vous de jouer 4.6.6.

Soit la surface \(\mathcal{S}\) obtenue en faisant tourner la courbe \(x = 4 y^2\text{,}\) \(z = 0\text{,}\) \(0 \leqslant y \leqslant 2\text{,}\) autour de l’axe des \(y\text{.}\)
Un paramétrage de \(\mathcal{S}\) prend la forme
\begin{equation*} \mathbf{r}(y,\theta) = \bigl(g(y)\cos\theta,\; y,\; g(y)\sin\theta\bigr), \qquad 0\leqslant y \leqslant 2,\quad 0\leqslant\theta\leqslant 2\pi. \end{equation*}
(a) Trouver \(g(y)\) :
\(g(y) =\)
(b) Vérifier que le paramétrage satisfait bien l’équation de la surface, c’est-à-dire que \(x^2 + z^2 = \bigl[g(y)\bigr]^2\) donne une équation ne dépendant que de \(x\text{,}\) \(y\) et \(z\text{.}\) Quelle est la valeur de \(x^2 + z^2\) sur \(\mathcal{S}\) ?
\(x^2 + z^2 =\)
Réponse 1.
\(4y^{2}\)
Réponse 2.
\(4^{2}y^{4}\)
Solution.
(a)\((4 y^2,\, y,\, 0)\)\(y\text{,}\)\(y\)\(x = 4 y^2\)
\begin{equation*} \mathbf{r}(y,\theta) = \bigl(4 y^2 \cos\theta,\; y,\; 4 y^2 \sin\theta\bigr), \end{equation*}
\(g(y) = 4 y^2\text{.}\)(b)
\begin{equation*} x^2 + z^2 = \bigl(4 y^2 \cos\theta\bigr)^2 + \bigl(4 y^2 \sin\theta\bigr)^2 = 4^2 y^4 (\cos^2\theta + \sin^2\theta) = 4^2 y^4. \end{equation*}
\(x^2 + z^2 = 4^2 y^4\text{,}\)\(x\text{,}\)\(y\)\(z\text{.}\)

À vous de jouer 4.6.7.

Utiliser des coordonnées polaires dans le plan \(Oxz\) pour paramétrer la portion du paraboloïde \(\mathcal{S} : y = 3(x^2 + z^2)\text{,}\) \(x^2 + z^2 \leqslant 3^2\text{.}\)
Donner les trois composantes du paramétrage \(\mathbf{r}(r,t)\) (utiliser \(t\) pour l’angle \(\theta\)) :
\(x =\)
\(y =\)
\(z =\)
avec \(0\leqslant r\leqslant 3\) et \(0\leqslant t\leqslant 2\pi\text{.}\)
Réponse 1.
\(r\cos\mathopen{}\left(t\right)\)
Réponse 2.
\(3r^{2}\)
Réponse 3.
\(r\sin\mathopen{}\left(t\right)\)
Solution.
\(Oxz\text{,}\)\(x = r\cos\theta\)\(z = r\sin\theta\text{.}\)\(x^2 + z^2 \leqslant 3^2\)\(0 \leqslant r \leqslant 3\text{.}\)\(y = 3(x^2+z^2)\text{,}\)
\begin{equation*} y = 3\bigl(r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta\bigr) = 3 r^2. \end{equation*}
\begin{equation*} \mathbf{r}(r,\theta) = (r\cos\theta,\; 3 r^2,\; r\sin\theta), \qquad 0\leqslant r\leqslant 3,\quad 0\leqslant\theta\leqslant 2\pi. \end{equation*}

Sous-section Plans tangents

Lorsqu’on rencontre une surface « compliquée » et qu’on veut l’étudier au voisinage d’un point, il est naturel de penser à utiliser le plan tangent en ce point. Afin de spécifier un plan, on doit avoir :
  • un vecteur non nul \(\vn\text{,}\) le vecteur normal pour ce plan;
  • un point \((x_0,y_0,z_0)\) appartenant au plan.
Si \((x,y,z)\) est un autre point sur le plan, alors le vecteur
\begin{gather*} \tvect{x}{y}{z} - \tvect{x_0}{y_0}{z_0} = \tvect{x-x_0}{y-y_0}{z-z_0} \end{gather*}
est parallèle au plan et, donc, est orthogonal à \(\vn\text{.}\) Ceci donne une équation pour le plan :
\begin{gather*} \vn\cdot\tvect{x-x_0}{y-y_0}{z-z_0} = 0. \end{gather*}
Le résultat suivant fournit les formules pour trouver un vecteur normal \(\vn\) à une surface dans différents contextes : si la surface est paramétrée, s’il s’agit d’un graphe d’une fonction et, finalement, s’il s’agit d’une surface de niveau d’une fonction de trois variables.
Remarquons aussi que, si nous appliquons la partie (c) à \(G(x,y,z) = z - f(x,y)\text{,}\) nous obtenons le vecteur normal \(\vn=\vnabla G\left( x_0,y_0,z_0\right) =-f_x(x_0,y_0)\,\vi - f_y(x_0,y_0)\,\vj + \vk \text{,}\) qui est le même que le vecteur normal fourni par la partie (b).

Démonstration.
  1. Fixons d’abord \(v=v_0\) et faisons varier \(u\text{.}\) Alors,
    \begin{gather*} u\mapsto \vr(u,v_0) = x(u,v_0)\,\vi + y(u,v_0)\,\vj + z(u,v_0)\,\vk \end{gather*}
    est un chemin, sa courbe fait partie de la surface (la courbe rouge dans la figure de droite ci-bas) et elle passe par \((x_0,y_0,z_0)\) (le point noir sur la figure) lorsque \(u=u_0\text{.}\)
    Le vecteur tangent à cette courbe au point \((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) qui est aussi tangent à la surface en \((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) est
    \begin{gather*} \vT_u = \frac{\partial\ }{\partial u}\vr(u,v_0)\Big|_{u=u_0} =\left.\tvect{\frac{\partial x}{\partial u}}{\frac{\partial y}{\partial u}}{\frac{\partial z}{\partial u}}\right|_{(u_0,v_0)}. \end{gather*}
    Il s’agit de la flèche rouge dans la figure de droite ci-haut.
    Fixons maintenant \(u=u_0\) et faisons varier \(v\text{.}\) Alors,
    \begin{gather*} v\mapsto \vr(u_0,v) = x(u_0,v)\,\vi + y(u_0,v)\,\vj + z(u_0,v)\,\vk \end{gather*}
    est un chemin dont la courbe se trouve sur la surface (c’est la courbe bleue dans la surface ci-haut) qui passe par \((x_0,y_0,z_0)\) lorsque \(v=v_0\text{.}\) Le vecteur tangent à cette courbe au point \((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) qui est aussi tangent à la surface au point \((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) est
    \begin{gather*} \vT_v = \frac{\partial\ }{\partial v}\vr(u_0,v)\Big|_{v=v_0} =\left.\tvect{\frac{\partial x}{\partial v}}{\frac{\partial y}{\partial v}}{\frac{\partial z}{\partial v}}\right|_{(u_0,v_0)}. \end{gather*}
    C’est la flèche bleue dans la figure de droite ci-haut.
    Nous avons deux vecteurs tangents à la surface au point \((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) à savoir \(\vT_u\) et \(\vT_v\text{.}\) Leur produit vectoriel
    \begin{align*} \vn = \vT_u\times\vT_v =\left.\det\left[\begin{matrix} \vi & \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\[2pt] \vj & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\[2pt] \vk & \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{matrix}\right]\right|_{(u_0,v_0)} \end{align*}
    est donc normal à la surface au point \((x_0,y_0,z_0)\text{.}\)
  2. Supposons maintenant que la surface est donnée comme le graphe de la fonction \(z=f(x,y)\text{.}\) Après avoir changé les noms des variables/paramètres, \(u\) devient \(x\text{,}\) et \(v\) devient \(y\text{,}\) nous pouvons utiliser le résultat de (a) :
    \begin{gather*} \vr(x,y) = x\,\vi + y\,\vj + f(x,y)\,\vk \end{gather*}
    est un paramétrage de la surface, et, au point \(\left( x_0,y_0,z_0\right)\text{,}\) où \(z_0=f(x_0,y_0)\text{,}\)
    \begin{gather*} \vT_x = \frac{\partial\vr }{\partial x}\Big|_{(x_0,y_0)} =\left.\ctvec{1}{0}{f_x}\right|_{(x_0,y_0)}, \qquad \vT_y = \frac{\partial\vr }{\partial y}\Big|_{(x_0,y_0)} =\left.\ctvec{0}{1}{f_y}\right|_{(x_0,y_0)} \end{gather*}
    et
    \begin{align*} \vn &= \vT_x\times\vT_y =\det\left[\begin{matrix} \vi & 1 & 0 \\ \vj & 0 & 1 \\ \vk & f_x(x_0,y_0) & f_y(x_0,y_0) \end{matrix}\right]\\ \amp =\left.\ctvec{-f_x}{-f_y}{1}\right|_{(x_0,y_0)}. \end{align*}
  3. Ce résultat a été établi au théorème 2.6.22.

Exemple 4.6.9. Cône.

Considérons la surface
\begin{align*} x &= x(u,v) = u\cos v,\\ y &=y(u,v) = u\sin v,\\ z &=z(u,v) = u,\\ & u\in\R,\quad v\in[0,2\pi[. \end{align*}
Remarquons que
\begin{gather*} x(u,v)^2 + y(u,v)^2 = u^2 = z(u,v)^2, \end{gather*}
de sorte que notre surface est aussi
\begin{gather*} G(x,y,z) = x^2+y^2-z^2 = 0. \end{gather*}
Nous en ferons une esquisse sous peu, mais, avant, trouvons son plan tangent au point \((x_0,y_0,z_0)=\vr(u_0,v_0)\text{.}\) Nous allons le faire deux fois, une fois avec l’équation implicite, puis une fois avec le paramétrage \(\vr(u,v) = u\cos v\,\vi + u\sin v\,\vj + u\,\vk \text{.}\) Nous avons
\begin{align*} \vT_u &= \frac{\partial\vr}{\partial u}(u_0,v_0) = \ctvec{\cos v_0}{\sin v_0}{1},\\ \vT_v &= \frac{\partial\vr}{\partial v}(u_0,v_0) = \ctvec{-u_0\sin v_0}{u_0\cos v_0}{0}, \end{align*}
de sorte que
\begin{align*} \vn &= \ctvec{\cos v_0}{\sin v_0}{1} \times \ctvec{-u_0\sin v_0}{u_0\cos v_0}{0} = \tvect{-u_0\cos v_0}{-u_0\sin v_0}{u_0}\\ &= \tvect{-x_0}{-y_0}{z_0}. \end{align*}
Par ailleurs, avec l’équation \(G(x,y,z) = x^2+y^2-z^2=0\text{,}\) nous avons le vecteur normal
\begin{gather*} \vnabla G\left( x_0,y_0,z_0\right) = \tvect{2x_0}{2y_0}{-2z_0} = -2\tvect{-x_0}{-y_0}{z_0}. \end{gather*}
Bien entendu, les deux vecteurs \({-x_0\,\vi - y_0\,\vj + z_0\,\vk}\) et \({-2\left(-x_0\,\vi - y_0\,\vj + z_0\,\vk\right)}\) sont colinéaires, les deux peuvent être utilisés comme vecteur normal pour le plan tangent. L’équation de ce plan est
\begin{align*} 0&=\vn\cdot\tvect{x-x_0}{y-y_0}{z-z_0}\\ &= -x_0(x-x_0)-y_0(y-y_0) + z_0(z-z_0), \end{align*}
pourvu que \((x_0,y_0,z_0)\ne \vZero\text{.}\) Si jamais \((x_0,y_0,z_0) = \vZero\text{,}\) l’ « équation du plan tangent » devient \(0=0\text{,}\) ce qui n’est clairement pas tellement utile.
Plus généralement, si \(\vT_u\times\vT_v=\vZero\) (ou \(\vnabla G(x_0,y_0,z_0)=\vZero\) ), alors soit
 1 
Nous avons vu cette dichotomie pour une courbe, lorsque \(\vr'(t) = 0 \text{,}\) voir l’exemple 1.5.27.
  • la surface n’admet pas de plan tangent au point \((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) soit
  • notre paramétrage est « tordu »
     2 
    Bien sûr, « tordu » n’est pas un terme très précis. Une raison pour qu’un paramétrage soit « tordu » est qu’il ne fournit pas une correspondance 1 à 1 entre les paramètres \((u,v)\) et les points d’une portion de la surface. Par exemple, les coordonnées polaires \(\vr(u,v) = u\cos v\,\vi + u\sin v\,\vj \) donnent \(\vr(0,v)=(0,0)\) pour toutes les valeurs de \(v\text{.}\)
    en ce point. Par exemple, nous pouvons paramétrer le plan \(xy\text{,}\) soit le plan \(z=0\text{,}\) par \(\vr(u,v) = u\cos v\,\vi + u\sin v\,\vj \) (ce sont les coordonnées polaires). Alors, \(\vT_u = \cos v_0\,\vi + \sin v_0\,\vj \) et \(\vT_v = -u_0\sin v_0\,\vi + u_0\cos v_0\,\vj \text{,}\) de sorte que \(\vT_u\times\vT_v = u_0\vk \) est \(\vZero\) lorsque \(u_0=0\text{.}\) Mais le plan \(z=0\) est son propre plan tangent!
La surface qui nous intéresse est \(x^2+y^2=z^2\text{.}\) L’intersection de cette surface avec le plan horizontal \(z=z_0\) est \(x^2+y^2=z_0^2\text{,}\) qui est un cercle de rayon \(|z_0|\) centré à \(x=y=0\text{.}\) Ainsi, notre surface est un empilement de cercles. Le rayon du cercle dans le plan \(Oxy\) est nul, et ce rayon croît linéairement à mesure qu’on s’éloigne du plan \(Oxy\text{.}\) Notre surface est un cône, avec ses deux portions, une au-dessus et une au-dessous du plan \(Oxy\text{;}\) elle n’a pas de plan tangent à \((0,0,0)\text{.}\) La figure ci-contre ne montre que la portion supérieure, \(z\geqslant 0\text{,}\) qui correspond aux valeurs \(u\geqslant 0\) du paramètre; la portion inférieure en est le reflet par rapport au plan \(Oxy\text{.}\)

Exemple 4.6.10. Hyperboloïde à une nappe.

Nous allons maintenant trouver les plans tangents à la surface
\begin{gather*} x^2 + y^2 -z^2 = 1. \end{gather*}
Comme pour le cône, l’intersection de la surface avec un plan horizontal \(z=z_0\) est un cercle, le cercle de rayon \(\sqrt{1+z_0^2}\) centré à \(x=y=0\text{.}\) Notre surface est, de nouveau, un empilement de cercles. Le rayon du cercle au plan \(Oxy\) est \(1\text{,}\) et ce rayon croît à mesure qu’on s’éloigne du plan \(Oxy\text{.}\) Voici une esquisse.
Cette surface est un hyperboloïde à une nappe
 3 
Il y a aussi des hyperboloïdes à deux nappes.
.
Avec l’équation \(G(x,y,z) = x^2+y^2-z^2=1\text{,}\) nous avons
\begin{gather*} \vnabla G\left( x_0,y_0,z_0\right) = \tvect{2x_0}{2y_0}{-2z_0} =2\tvect{x_0}{y_0}{-z_0} \end{gather*}
et nous pouvons prendre \({\vn=x_0\,\vi+y_0\,\vj-z_0\,\vk}\) comme vecteur normal au point \((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Ainsi, le plan tangent à \(x^2+y^2-z^2=1\) au point \((x_0,y_0,z_0)\) est
\begin{align*} 0&=\vn\cdot\tvect{x-x_0}{y-y_0}{z-z_0}\\ &= x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0) - z_0(z-z_0). \end{align*}
Cette fois, \({\vn\ne \vZero}\text{,}\) de sorte que nous avons un plan tangent en chaque point. Comme \((0,0,0)\) n’appartient pas à la surface, nous n’avons pas le problème d’annulation du vecteur normal \(\vn\text{.}\)

Exemple 4.6.11. L’hyperboloïde à une nappe comme surface de révolution.

L’hyperboloïde à une nappe \(x^2+y^2-z^2=1\) est invariant par rotation autour de l’axe des \(z\text{.}\) Il semble donc naturel de le paramétrer en utilisant les coordonnées cylindriques.
\begin{align*} x &= r\cos\theta, \\ y &= r\sin\theta, \\ z &= z. \end{align*}
En coordonnées cylindriques, la surface \(x^2+y^2-z^2=1\) est \(r^2-z^2=1\text{,}\) et l’on peut la paramétrer en prenant \(\vr(\theta,z) = {\sqrt{1+z^2}\,\cos\theta\,\vi +\sqrt{1+z^2}\,\sin\theta\,\vj +z\,\vk}\text{,}\) avec \({0\leqslant\theta\leqslant 2\pi}\) et \(z\in\R\text{.}\)
Une autre façon de procéder est de tirer profit des propriétés des fonctions trigonométriques hyperboliques :
\begin{gather*} \sinh u = \frac{1}{2}\left( e^u-e^{-u}\right), \qquad \cosh u = \frac{1}{2}\left( e^u+e^{-u}\right). \end{gather*}
Celles-ci ont des propriétés analogues à celles des fonctions trigonométriques usuelles. Ce n’est pas un hasard, puisque \(\cosh u = \cos(iu)\) et \(\sinh u = -i\sin(iu)\text{.}\) En effet, on montre que
\begin{gather*} \diff{}{u} \cosh u= \sinh u, \qquad \diff{}{u} \sinh u= \cosh u, \qquad \cosh^2 u -\sinh^2 u =1. \end{gather*}
On peut choisir \(r=\cosh u\text{,}\) \(z=\sinh u\) pour obtenir un paramétrage
\begin{gather*} \vr(\theta,u) = \cosh u\,\cos\theta\,\vi +\cosh u\,\sin\theta\,\vj +\sinh u\,\vk,\qquad 0\leqslant\theta\leqslant 2\pi,\ u\in\R. \end{gather*}
Afin de nous exercer avec les fonctions trigonométriques hyperboliques, trouvons, au moyen de ce paramétrage, le vecteur \(\vn \text{.}\)
\begin{align*} x&= \cosh u\,\cos\theta & x_u&= \sinh u\,\cos\theta & x_\theta&= -\cosh u\,\sin\theta\\ y&= \cosh u\,\sin\theta & y_u&= \sinh u\,\sin\theta & y_\theta&= \phantom{-}\cosh u\,\cos\theta\\ z&=\sinh u & z_u&=\cosh u & z_\theta&=0. \end{align*}
Ainsi,
\begin{align*} \vn = \vT_u\times\vT_\theta &=\det\left[\begin{matrix} \vi & \sinh u\,\cos\theta & -\cosh u\,\sin\theta \\ \vj & \sinh u\,\sin\theta & \cosh u\,\cos\theta \\ \vk & \cosh u & 0 \end{matrix}\right]\\ &= \tvect{-\cosh^2u\,\cos\theta}{-\cosh^2u\,\sin\theta}{\sinh u\cosh u}. \end{align*}

À vous de jouer 4.6.12.

Soit la surface \(\mathcal{S}\) paramétrée par
\begin{equation*} \mathbf{r}(u,v) = (u,\; v,\; u^2+v^2). \end{equation*}
On cherche le plan tangent à \(\mathcal{S}\) au point \(P = \mathbf{r}(1,2) = (1,\, 2,\, 5)\text{.}\)
(a) Calculer les vecteurs vitesse en \((u,v) = (1,2)\) :
\(\mathbf{r}_u(1,2) = \bigl(\) \(,\;\) \(,\;\) \(\bigr)\)
\(\mathbf{r}_v(1,2) = \bigl(\) \(,\;\) \(,\;\) \(\bigr)\)
(b) Calculer le vecteur normal \(\mathbf{n} = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\) en \((1,2)\) :
\(\mathbf{n} = \bigl(\) \(,\;\) \(,\;\) \(\bigr)\)
(c) En déduire l’équation du plan tangent à \(\mathcal{S}\) au point \(P\text{.}\) Écrire la réponse sous la forme \(z = \ldots\) :
\(z =\)
Réponse 1.
\(1\)
Réponse 2.
\(0\)
Réponse 3.
\(2\)
Réponse 4.
\(0\)
Réponse 5.
\(1\)
Réponse 6.
\(4\)
Réponse 7.
\(-2\)
Réponse 8.
\(-4\)
Réponse 9.
\(1\)
Réponse 10.
\(2x+4y+-5\)
Solution.
(a)
\begin{equation*} \mathbf{r}_u(u,v) = \frac{\partial}{\partial u}(u,\,v,\,u^2+v^2) = (1,\,0,\,2u), \end{equation*}
\begin{equation*} \mathbf{r}_v(u,v) = \frac{\partial}{\partial v}(u,\,v,\,u^2+v^2) = (0,\,1,\,2v). \end{equation*}
\((u,v) = (1,2)\)
\begin{equation*} \mathbf{r}_u(1,2) = (1,\,0,\,2), \qquad \mathbf{r}_v(1,2) = (0,\,1,\,4). \end{equation*}
(b)
\begin{equation*} \mathbf{n} = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} \amp \mathbf{j} \amp \mathbf{k} \\ 1 \amp 0 \amp 2 \\ 0 \amp 1 \amp 4 \end{vmatrix} = (0\cdot 4 - 2\cdot 1,\;\; 2\cdot 0 - 1\cdot 4,\;\; 1\cdot 1 - 0\cdot 0) = (-2,\, -4,\, 1). \end{equation*}
(c)\(P = (1,\,2,\,5)\)\(\mathbf{n} = (-2,\,-4,\,1)\)
\begin{equation*} -2(x - 1) - 4(y - 2) + (z - 5) = 0, \end{equation*}
\(z = 2 x + 4 y - 5\text{.}\)\(z = f(x,y) = x^2+y^2\text{,}\)\(z = 2x_0(x-x_0) + 2y_0(y-y_0) + x_0^2 + y_0^2\text{.}\)

Exercices Exercices

Pour se pratiquer.

1.

Paramétrer la surface donnée par \(z=e^{x+1}+xy\) en fonction de \(x\) et \(y\text{.}\)
Réponse.
\({\vr(x,y)= x\,\vi + y\,\vj + (e^{x+1}+xy)\,\vk}\)

2.

Soit \(\cS\) la surface donnée par \(\vr(u, v) = (u + v)\,\vi + (u^2 + v^2)\,\vj + (u - v)\,\vk \) avec \(-2 \leqslant u \leqslant 2,\ -2 \leqslant v \leqslant 2 \text{.}\) C’est une surface familière. De quelle surface s’agit-il? Il peut s’agir d’une portion de l’une des surfaces suivantes : sphère, hélicoïde, ellipsoïde, selle, bol parabolique, cylindre, cône ou plan.
Réponse.
Bol parabolique.

3.

Supposer que \(\cS\) est la partie de l’hyperboloïde \(x^2 + y^2 - 2z^2 = 1\) qui est à l’intérieur du cylindre \(x^2 + y^2 = 9\) et au-dessus du plan \(z=1\) (c’est-à-dire telle que \(z \geqslant 1\)).
Parmi les éléments suivants, lesquels sont des paramétrages de \(\cS\text{?}\)
  1. La fonction vectorielle
    \begin{gather*} \vr(u,v) = u\,\vi + v\,\vj +\frac{\sqrt{u^2+v^2-1}}{\sqrt{2}}\,\vk \end{gather*}
    avec domaine \(D=\Set{(u,v)}{ 2 \leqslant u^2+v^2 \leqslant 9}\text{.}\)
  2. La fonction vectorielle
    \begin{gather*} \vr(u,v) = u\sin v\,\vi - u\cos v\,\vj +\sqrt{\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}}\,\vk \end{gather*}
    avec domaine \(D=\Set{(u,v)}{ \sqrt{3} \leqslant u\leqslant 3,\ 0\leqslant v\leqslant 2\pi}\text{.}\)
  3. La fonction vectorielle
    \begin{gather*} \vr(u,v) = \sqrt{1+2v^2}\cos u\,\vi + \sqrt{1+2v^2} \sin u\,\vj +v\,\vk \end{gather*}
    avec domaine \(D=\Set{(u,v)}{ 0\leqslant u\leqslant 2\pi,\ 1\leqslant v\leqslant 2}\text{.}\)
  4. La fonction vectorielle
    \begin{gather*} \vr(u,v) = \sqrt{1+u}\sin v\,\vi + \sqrt{1+u} \cos v\,\vj +\sqrt{\frac{u}{2}}\,\vk \end{gather*}
    avec domaine \(D=\Set{(u,v)}{ 2\leqslant u\leqslant 8,\ 0\leqslant v\leqslant 2\pi}\text{.}\)
  5. La fonction vectorielle
    \begin{gather*} \vr(u,v) = \sqrt{u}\cos v\,\vi - \sqrt{u} \sin v\,\vj +\frac{\sqrt{u+1}}{\sqrt{2}}\,\vk \end{gather*}
    avec domaine \(D=\Set{(u,v)}{ 3\leqslant u\leqslant 9,\ 0\leqslant v\leqslant 2\pi}\text{.}\)
Réponse.
  1. Non.
  2. Oui.
  3. Oui.
  4. Oui.
  5. Non.

Pour mieux comprendre.

4.

Supposons que la surface \(\cS\) est la partie de la sphère \(x^2 + y^2 + z^2 = 2\) qui se trouve à l’intérieur du cylindre \(x^2 + y^2 = 1\) et pour laquelle \(z \geqslant 0\text{.}\) Parmi les éléments suivants, lesquels sont des paramétrages de \(\cS\) ?
  1. \begin{gather*} \vr(\phi,\theta) = 2\sin \phi\cos\theta\,\vi +2\cos \phi\,\vj +2\sin \phi\sin\theta\,\vk,\qquad 0\leqslant \phi\leqslant \frac{\pi}{4},\ 0\leqslant \theta\leqslant 2\pi \end{gather*}
  2. \begin{gather*} \vr(x,y) = x\,\vi -y\,\vj +\sqrt{2-x^2-y^2}\,\vk,\qquad x^2+y^2\leqslant 1 \end{gather*}
  3. \begin{gather*} \vr(u,\theta) = u\sin\theta\,\vi +u\cos \theta\,\vj +\sqrt{2-u^2}\,\vk,\qquad 0\leqslant u\leqslant 2,\ 0\leqslant \theta\leqslant 2\pi \end{gather*}
  4. \begin{gather*} \vr(\phi,\theta) = \sqrt{2}\sin \phi\cos\theta\,\vi +\sqrt{2}\sin \phi\sin\theta\,\vj +\sqrt{2}\cos \phi\,\vk,\qquad 0\leqslant \phi\leqslant \frac{\pi}{4},\ 0\leqslant \theta\leqslant 2\pi \end{gather*}
  5. \begin{gather*} \vr(\phi,z) = -\sqrt{2-z^2}\sin \phi\,\vi +\sqrt{2-z^2}\cos \phi\,\vj +z\,\vk,\qquad 0\leqslant \phi\leqslant 2\pi,\ 1\leqslant z\leqslant \sqrt{2} \end{gather*}
Réponse.
  1. Non.
  2. Oui.
  3. Non.
  4. Oui.
  5. Oui.

5.

Soit \(\cS\) la partie du paraboloïde \(z + x^2 + y^2 = 4\) comprise entre les plans \(z = 0\) et \(z = 1\text{.}\) Pour chacun des éléments suivants, indiquer s’il paramètre correctement ou non la surface \(\cS\text{.}\)
  1. \(\vr(u,v) = u\,\vi + v\,\vj + (4 - u^2 - v^2)\,\vk \text{,}\) \(0 \leqslant u^2 + v^2 \leqslant 1\)
  2. \(\vr(u,v) = (\sqrt{4-u}\,\cos v)\,\vi + (\sqrt{4-u}\, \sin v)\,\vj + u\,\vk \text{,}\) \(0 \leqslant u \leqslant 1\text{,}\) \(0 \leqslant v \leqslant 2\pi\)
  3. \(\vr(u, v) = (u \cos v)\,\vi + (u \sin v)\,\vj + (4 - u^2 )\,\vk \text{,}\) \(\sqrt{3} \leqslant u \leqslant 2\text{,}\) \(0 \leqslant v \leqslant 2\pi\)
Réponse.
  1. Non.
  2. Oui.
  3. Oui.

6.

Dans cet exercice, on cherche à paramétrer une surface de révolution obtenue en faisant tourner une courbe plane autour d’une droite qui n’est pas l’un des axes de coordonnées. On considère la droite \({\vr(t)=4\vi +4\vj +t\vk}\text{,}\) parallèle à l’axe des \(z\text{,}\) et le cercle de rayon \(1\) centré en \((2,2,4)\) et situé dans le plan \(x=y\text{,}\) qui contient cette droite (voir la figure ci-contre).
  1. Donner un paramétrage de ce cercle.
  2. Donner un paramétrage de la surface obtenue en faisant tourner ce cercle autour de la droite.
Réponse.
  1. \({(x,y,z)=\left(2+\tfrac{1}{\sqrt 2}\cos\theta,\ 2+\tfrac{1}{\sqrt 2}\cos\theta,\ 4+\sin\theta\right)}\text{,}\) \(0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi\)
  2. \({x = 4+\left(2\sqrt{2}-\cos\theta\right)\cos\phi}\text{,}\) \({y = 4+\left(2\sqrt{2}-\cos\theta\right)\sin\phi}\text{,}\) \({z = 4+\sin\theta}\text{,}\) \({0 \leqslant \theta,\phi \leqslant 2\pi}\)

7.

Pour les surfaces données par les paramétrages suivants, donner une équation du plan tangent au point spécifié.
  1. \({\vr(u,v) = 2u\,\vi + (u^2 + v)\,\vj + v^2\,\vk}\) au point \((0,1,1)\)
  2. \({\vr(u,v) = u^2\,\vi + u\sin e^v\, \vj + \tfrac{1}{3}u\cos e^v \, \vk}\) au point \((13, -2,1)\)

8.

Trouver une équation du plan tangent à la surface donnée par \(\vr(u,v) = u^2 \vi + v^2 \vj + (u^2 + v^2)\vk\) au point correspondant à \((u,v) = (1,1)\text{.}\)

9.

Soit \(\cS\) la surface donnée par \(z = 3x^2 + 8xy\text{.}\)
  1. La surface est le graphe d’une fonction de deux variables. Utiliser ceci pour trouver une équation du plan tangent au point \((1,0,3)\text{.}\)
  2. Trouver un paramétrage de \(\cS\) et l’utiliser pour trouver l’équation du plan tangent au point \((1,0,3)\text{.}\)

10.

Soit \(\cS\) la surface \({\vr(u,\theta) = u\cos \theta\, \vi + u\sin \theta\, \vj + \theta\, \vk}\) avec \(0\leqslant u \leqslant 1\) et \(0\leqslant \theta \leqslant 4\text{.}\)
  1. Esquisser et décrire la surface \(\cS\text{.}\)
  2. Trouver un vecteur normal unitaire à \(\cS\) en un point quelconque \((x_0,y_0,z_0)\in \cS\text{.}\)
  3. Trouver l’équation du plan tangent à \(\cS\) au point \((x_0,y_0,z_0) \text{.}\)
  4. Si \((x_0,y_0,z_0)\in \cS\text{,}\) montrer que le segment de longueur \(1\) joignant \((x_0,y_0,z_0)\) à l’axe des \(z\) est contenu dans \(\cS\) et dans le plan tangent trouvé précédemment.

11.

Soit \(\cS\) la sphère de rayon \(2\) centrée à l’origine. Calculer l’équation du plan tangent à \(\cS\) au point \((1,1,\sqrt{2})\) en considérant \(\cS\) comme :
  1. une surface paramétrée par \(\vr(\j, \f) = 2\cos \j \, \sin \f\, \vi + 2 \sin \j\, \sin \f\, \vj + 2\cos \f\, \vk\text{;}\)
  2. une surface de niveau de la fonction \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\text{;}\)
  3. le graphe de la fonction \(g(x,y) = \sqrt{4-x^2 - y^2}\text{.}\)

12.

Soit \(\cH\) l’hyperboloïde \(x^2 + y^2 -z^2 =25\text{.}\)
  1. Trouver un paramétrage de \(\cH\text{.}\)
  2. Trouver une équation du plan tangent à \(\cH\) au point \((x_0,y_0,0)\) (où \(x_0^2 + y_0^2 = 25\)).
  3. Montrer que les droites passant par \((x_0,y_0,0)\) et dirigées par les vecteurs \({\vu = -y_0\,\vi + x_0\, \vj + 5\,\vk}\) et \({\vv = y_0\,\vi - x_0\, \vj + 5\,\vk}\) sont contenues dans \(\cH\) et dans le plan tangent calculé dans la partie précédente.

Pour aller plus loin.

13.

Une surface peut être paramétrée par une application \(\vr : \cD \to \R^3\text{,}\) où \(\cD \subseteq \R^2\text{.}\) Les résultats vus au chapitre 2 suggèrent que la dérivée de \(\vr\) devrait donner une approximation linéaire correspondant au plan tangent. Dans ce problème, ceci sera démontré.
Soit \(\vr(u,v) = x(u,v)\vi + y(u,v)\vj + z(u,v)\vk\) un paramétrage d’une surface \(\cS\text{,}\) où \(\vr\) est différentiable. On dénote par \(\vr_u\) et \(\vr_v\) les dérivées partielles de \(\vr\text{.}\)
  1. Sous l’hypothèse que \(\vr_u(u_0,v_0) \times \vr_v(u_0,v_0) \ne \vZero\text{,}\) montrer que l’image de la transformation linéaire donnée par \(\vD \vr (u_0,v_0)\) (c’est l’espace colonne de cette matrice) est le plan engendré par \(\vr_u\) et \(\vr_v\text{.}\)
  2. Montrer qu’un vecteur \(\vw\) est orthogonal à \(\vr_u\times \vr_v\) si et seulement s’il se trouve dans l’image de \(\vD \vr (u_0,v_0)\text{.}\)
  3. Démontrer que le plan tangent à la surface est le plan donné (voir ceci comme une surface paramétrée) par
    \begin{align*} (u,v) \amp \mapsto \vr(u_0,v_0) + \vD \vr(u_0, v_0)\begin{bmatrix}u-u_0\\ v-v_0\end{bmatrix}. \end{align*}
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