Section D.2 Vecteurs et courbes

Sous-section Vecteurs, produit scalaire, produit vectoriel

Pour déclarer un vecteur on l’entre comme une liste de nombres. L’addition des vecteurs et la multiplication par une constante se font de la façon naturelle. Voyons un exemple avec des vecteurs de \(\R^4\text{.}\)

Le produit scalaire et le produit vectoriel se font grâce aux commandes _dot_product() ou _cross_product(). Le produit scalaire peut aussi se faire au moyen de *. Voyons des exemples

De la même façon, la commande norm(...) permet de calculer la norme d’un vecteur.

Sous-section Courbes

Afin de tracer une courbe parametrique, c’est la commande parametric_plot(...) qu’il faut utiliser. Noter que si le paramètre est une variable autre que \(x\text{,}\) il faut la déclarer. Il y a plusieurs options, voyons l’exemple de l’astroïde \(x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}\text{,}\) traité à l’exemple 1.5.6.

Notons que nous avons défini les fonctions \(x(t)\) et \(y(t)\) séparément, mais ceci n’est pas nécessaire, on aurait pu faire parametric_plot([a*cos(t)^3, a*sin(t)^3],...). La portion (t,0,2*pi) est là pour dire que le paramètre \(t\) prend les valeurs entre \(0\) et \(2\pi\text{.}\)

Voyons maintenant la même figure, un peu retouchée.

Pour les courbes dans \(\R^3\) le principe est le même. Il faut cependant noter que les possibilités d’annoter une figure soient beaucoup moins variées que pour les figures dans \(\R^2\text{.}\) Voici un exemple, celui de l’exemple 1.5.14, où il s’agissait de tracer la courbe intersection cône \(z^2 = x^2+ y^2\) et du plan \(z=1+y\text{.}\) Notons cependant que dans les notes, afin de mieux visualiser la courbe, elle est dessinée avec le cône et plan. Le paramétrage obtenu est

\begin{gather*} \vr(s) = s\, \vi + \frac{1}{2}(s^2 -1)\, \vj + \frac{1}{2}(s^2 + 1)\, \vk \qquad s\in \R. \end{gather*}

Ce code montrera seulement la courbe. Afin de voir les autres éléments, faites show(Courbe + Plan + Cone) à la dernière ligne, et changez la valeur du paramètre frame = ... pour voir l’effet.

Sous-section Coordonnées polaires

Bien que les coordonnées polaires aient été traitées dans le Chapitre 3 3, finissons cette section avec un exemple de tracée de courbes en coordonnées polaires. En plus on remarquera l’utilisation de la commande graphics_array(...). On trace les courbes dont l’équation polaire est \(r=1+c\sin t\) pour différentes valeurs de \(c\text{.}\) La commande Courbes(...) construit une liste de courbes, puis avec graphics_array(...) on les dispose en tableau.

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