Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), physicien et mathématicien irlandais. En plus du théorème de Stokes, il est connu pour les équations de Navier-Stokes utilisées pour l’étude de la dynamique des fluides.
, un analogue du théorème de Green, dans sa version tangentielle, mais en trois dimensions. Le résultat lie l’intégrale du rotationnel d’un champ sur une surface de \(\R^3\) à l’intégrale du champ le long du bord de cette surface.
la frontière \(\partial \cS\) de \(\cS\text{,}\) formée d’un nombre fini de courbes lisses par morceaux, orientées par l’orientation induite du choix de \(\vn\text{,}\) c’est-à-dire que :
lorsqu’on se déplace le long de \(\partial \cS\) dans la direction choisie de \(\partial \cS\text{,}\)
si \(\partial \cS\) est une courbe fermée simple et que,
lorsqu’on regarde \(\partial \cS\) de la partie positive de l’axe des \(z\text{,}\) elle est orientée dans le sens antihoraire (voir la figure dans le théorème 4.8.1), alors
Le théorème de Stokes dit que \(\oint_{\cC}\vF\cdot \dee{\vr}
=\iint_{\cS}\vnabla\times\vF\cdot\vn\ \dee{S}\) pour toute surface (convenablement orientée) dont le bord est \(\cC\text{.}\) Ainsi, si \(\cS_1\) et \(\cS_2\) sont deux surfaces différentes (convenablement orientées) qui ont un bord commun \(\cC\text{,}\) alors
avec un vecteur normal unitaire pointant vers le haut, ont le cercle \(\cC\) pour bord. Ainsi, le théorème de Stokes dit que \(\iint_{\cS_1}\vnabla\times\vF\cdot\vn\ \dee{S}
=\iint_{\cS_2}\vnabla\times\vF\cdot\vn\ \dee{S}\text{.}\)
Notons également que, pour les champs \(\vF\) tels que \(\vnabla\times\vF=\vZero\) partout, le théorème de Stokes donne \(\oint_{\cC}\vF\cdot \dee{\vr}=0\) le long de toute courbe fermée \(\cC\text{,}\) ce qui entraîne que \(\vF\) est conservatif, en vertu du théorème 4.4.7. Ainsi, le théorème de Stokes fournit une autre preuve du théorème 4.4.9.
Calculer la valeur de \(\displaystyle\int_{\cC}\vF\cdot\dee{\vr}\text{,}\) où \(\vF= \big[2z+\sin\left(x^{146}\right)\big]\,\vi-5z\,\vj -5y\,\vk\) et où la courbe \(\cC\) est le cercle \(x^2+y^2=4\) du plan \(z=1\text{,}\) orienté dans le sens antihoraire lorsque vu d’en haut.
Le terme \(x^{146}\) dans \(\vF\) va vraisemblablement faire que l’évaluation directe de l’intégrale de ligne sera très difficile. Afin d’utiliser le théorème de Stokes, nous avons besoin d’une surface \(\cS\) telle que \(\partial \cS=\cC\text{.}\) Le choix le plus simple est le disque
Calculer \(\displaystyle\int_{\cC}\vF\cdot\dee{\vr}\text{,}\) où \(\vF= \big[2z+\sin\left(x^{146}\right)\big]\,\vi-5z\,\vj -5y\,\vk\) et où \(\cC\) est l’intersection de \(x^2+y^2+z^2=4\) et \(z=y\text{,}\) orientée dans le sens antihoraire lorsque vue d’en haut.
La surface \(x^2+y^2+z^2=4\) est la sphère de rayon \(2\) centrée à l’origine, et \(z=y\) est un plan qui contient l’origine. La courbe \(\cC\) est donc un cercle centré à l’origine et de rayon \(2\text{.}\) La portion du cercle qui se trouve dans le premier octant est esquissée dans la figure ci-après.
De nouveau, afin d’utiliser le théorème de Stokes, nous avons besoin d’une surface admettant \(\cC\) comme bord. Le choix le plus simple semble être le disque
Nous allons évaluer \(2\iint_{\cS} \vj\cdot\vn\,\dee{S}\) de deux façons différentes. La première est plus efficace, mais nécessite un peu plus de perspicacité. Puisque \(\vnabla(z-y)=\vk-\vj\text{,}\) le vecteur normal unitaire pour le plan \(z-y=0\) (et donc pour \(\cS\)) est \({\vn = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(\vk-\vj)}\text{.}\) Ainsi, l’intégrande est
Afin d’obtenir le vecteur normal unitaire pointant vers le haut, nous prenons le signe \(+\text{,}\) de sorte que \({\vn\,\dee{S}= (-\vj+\vk)\,\dee{x}\dee{y}}\text{.}\) Lorsque \((x,y,z)\) parcourt
Utilisez le Théorème de Stokes pour évaluer \(\displaystyle \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) où \(\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} +
5\!(x^{2} + y^{2})\mathbf{k}\) et \(C\) est le bord de la portion du paraboloïde \(z = 49 - x^{2} - y^{2}\) se trouvant au dessus du plan \(xy\) et \(C\) est orientée dans le sens contraire des aiguilles d’une montre lorsque vue d’en haut.
Dans l’exemple suivant nous calculons une intégrale de ligne de deux façons : comme une intégrale de ligne, puis grâce à une intégrale double et le théorème de Stokes.
et où \(\cC\) est la courbe orientée obtenue en allant de \((2,0,0)\) à \((0, 3, 0)\) puis à \((0, 0, 6)\) et en retournant à \((2, 0, 0)\text{,}\) le tout en suivant des segments de droite.
La courbe \(\cC\) est un triangle contenu dans le plan \({\tfrac{x}{2}+\tfrac{y}{3}+\tfrac{z}{6}=1}\text{.}\) De plus, \(\cC\) est la frontière de la surface \(\cS\) qui consiste en la portion du plan \({\tfrac{x}{2}+\tfrac{y}{3}+\tfrac{z}{6}=1}\) vérifiant \(x\geqslant0\text{,}\)\(y\geqslant0\) et \(z\geqslant0\text{.}\) Nous pouvons écrire l’équation du plan sous la forme \(z=6-3x-2y\text{.}\) Pour cette surface,
Utilisez le Théorème de Stokes afin de trouver la circulation de \(\mathbf{F} = xy\,\mathbf{i} + yz\,\mathbf{j} + xz\,\mathbf{k}\) autour du bord de la surface \(S\) donnée par \(z = 25 - x^2\) pour \(0 \leq x \leq 5\) et \(-2 \leq y \leq 2\text{,}\) orientée vers le haut.
Pour commencer, faisons une esquisse de la courbe. La surface d’équation \({x^2+\tfrac{y^2}{2}+\tfrac{z^2}{3}=1}\) est un ellipsoïde centré à l’origine, et \(z=x^2+2y^2\) est un paraboloïde qui s’ouvre vers le haut. Ils sont esquissés dans la figure accompagnant l’énoncé.
On peut paramétrer \(\cC\text{,}\) par exemple en substituant \(x^2 = z - 2y^2\) dans l’équation de l’ellipsoïde, ce qui donne \({-\tfrac{3}{2}y^2 + \tfrac{1}{3}\left(z+\tfrac{3}{2}\right)^2 = \tfrac{7}{4}}\text{.}\) On peut alors résoudre pour obtenir \(y\) comme fonction de \(z\text{,}\) puis \(x^2=z-2y^2\) donne aussi \(x\) en fonction de \(z\text{.}\) Cependant, ceci va mener, au mieux, à une intégrale pas très sympathique. Essayons plutôt le théorème de Stokes.
de sorte que \(\vF\) est conservatif (en fait, \({\vF= \vnabla f} \text{,}\) pour \(f(x,y,z)= \left(\sin x + xy + xz +yz\right)\)). Comme \(\cC\) est une courbe fermée, \(\int_{\cC}\vF\cdot\dee{\vr}=0
\text{.}\)
Utilisez le théorème de Stokes pour évaluer \(\iint_{\mathcal{S}} (\nabla\times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}\text{,}\) où \(\mathbf{F}(x, y, z) = -19 yz\mathbf{i} + 19 xz\mathbf{j} + 16 (x^{2} +
y^{2})z\mathbf{k}\) et \(\mathcal{S}\) est la portion du paraboloïde \(z = x^{2} + y^{2}\) qui se trouve à l’intérieur du cylindre \(x^{2} + y^{2} = 1\text{,}\) orienté vers le haut.
Dans cet exemple, on calcule de deux façons différentes l’intégrale de ligne \(\int_{\cC}\vF\cdot \dee{\vr}\text{,}\) où \(\cC\) est la courbe d’équations \(x^2+y^2+z^2=4\) et \(z=y\text{,}\) orientée dans le sens antihoraire lorsque vue d’en haut.
Dans ce premier calcul, on utilise un paramétrage de \(\cC\text{.}\) Le plan \(z=y\) passe par l’origine, qui est le centre de la sphère \(x^2+y^2+z^2=4\text{.}\) Ainsi, \(\cC\) est un cercle qui, comme la sphère, a un rayon égal à \(2\) et est centré à l’origine. Nous paramétrons \(\cC\) par
La partie la plus difficile est de trouver ces vecteurs \(\vi'\) et \(\vj'\text{.}\)
Le point \((2,0,0)\) vérifie \(x^2+y^2+z^2=4\) et \(z=y\text{,}\) de sorte qu’il se trouve sur \(\cC\text{.}\) Nous pouvons choisir \(\vi'\) comme un vecteur unitaire parallèle au vecteur joignant le centre du cercle \((0,0,0)\) à \((2,0,0)\text{,}\) c’est-à-dire \(\vi'=\vi\text{.}\)
Puisque le plan contenant le cercle est \(z-y=0\text{,}\) le vecteur \({\vnabla(z-y)=-\vj+\vk}\) est orthogonal à ce plan. Ainsi, \({\vk'=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(-\vj+\vk)}\) est un vecteur normal unitaire pour le plan \(z=y\text{.}\) Ainsi, \({\vj'=\vk'\times\vi'=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(-\vj+\vk)\times\vi = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(\vj+\vk)}\) est un vecteur qui est orthogonal à \(\vi'\) et à \(\vk'\text{.}\) Comme \(\vj'\) est orthogonal à \(\vk'\text{,}\) il est parallèle au plan \(z=y\text{.}\)
Afin de vérifier que ce paramétrage est correct, notons que \(x=2\cos t\text{,}\)\(y=\sqrt{2}\sin t\text{,}\)\(z=\sqrt{2}\sin t\) vérifie \(x^2+y^2+z^2=4\) et \(z=y\text{.}\)
À \(t=0\text{,}\)\(\vr(0)=2\vi\text{.}\) Lorsque \(t\) croît, \(z(t)=\sqrt{2}\sin t\) croît aussi, et \(\vr(t)\) bouge vers le haut, vers \({\vr\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\sqrt{2}\,\vj+\sqrt{2}\,\vk}\text{.}\) Ceci donne donc la bonne orientation antihoraire. Nous pouvons maintenant intégrer.
Afin de nous préparer, calculons \(\vnabla\times\vF\) et \(\vn\,\dee{S}\text{.}\) Pour le dernier, nous appliquons la formule \({\vn\,\dee{S}=\pm(-f_x\,\vi-f_y\,\vj+\vk)\,\dee{x}\dee{y}}\) (de la formule 4.7.6) à la surface \(z=f(x,y)=y\text{.}\) Nous choisissons le signe \(+\) pour avoir le vecteur normal pointant vers le haut.
Les variables d’intégration sont \(x\) et \(y\text{.}\) Par définition, le domaine d’intégration est
\begin{gather*}
\cR=\Set{(x,y)}{(x,y,z)\text{ est dans }\cS\text{ pour un certain }z}\text{.}
\end{gather*}
Afin de déterminer ce domaine plus précisément, observons que, puisque \(z=y\) sur \(\cS\text{,}\)\(x^2+y^2+z^2\leqslant 4\) équivaut à \(x^2+2y^2\leqslant 4\) sur \(\cS\) :
Ainsi, le domaine d’intégration est une ellipse de demi-grand axe \(a=2\) et de demi-petit axe \(b=\sqrt{2}\text{,}\) de sorte que son aire est \(\pi a b=2\sqrt{2}\pi\text{.}\) L’intégrale est alors
Puisque l’intégrande est une constante (après Stokage, pas l’intégrande original) et que \(\cS\) est si simple (nous avons fait de bons choix!), nous pouvons évaluer l’intégrale \(\iint_{\cS} \vnabla\times\vF\cdot\vn\,\dee{S}\) sans calculer \(\dee{S}\) explicitement ni même établir les bornes d’intégration. Nous avons \(\vnabla\times\vF=2\,\vj\text{.}\) Puisque \(\cS\) est la surface de niveau \(z-y=0\text{,}\) le gradient \(\vnabla(z-y)=-\vj+\vk\) est normal à \(\cS\text{.}\) Ainsi, \({\vn = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(-\vj+\vk)}\) et
Notons pour commencer que la courbe est fermée et simple. Le calcul de l’intégrale de ligne risque d’être ardu, en raison des termes \(\cos(x^2)\text{,}\)\(\sin(y^2)\) et \(\tan(z^2)\text{.}\)
Afin d’utiliser le théorème de Stokes, il faudrait identifier une surface \(\cS\) telle que \(\partial \cS = \cC\text{.}\) En général, plusieurs choix sont possibles. Dans notre exemple, les composantes du chemin sont \(x(t) = 2\cos t\text{,}\)\(y(t) = 2 \sin t\) et \(z(t) = 4 \sin^2 t\text{.}\) Ces composantes vérifient \(z(t)= y(t)^2\text{,}\) de sorte que notre courbe se trouve sur le cylindre parabolique \(z=y^2\text{.}\) Soit donc \(\cS\) la portion de ce cylindre qui est limitée par \(\cC\text{.}\)
La surface \(\cS\) est le graphe de la fonction \(f(x,y) = y^2\) avec \((x,y)\in \cR\text{,}\) où \(\cR\) est définie par \(x^2+ y^2 \leqslant 2^2\text{.}\)
Le paramétrage donné de \(\cC\) lui impose une orientation. Lorsque vue d’en haut (avec le vecteur \(\vk\) pointant vers nous), \(\cC\) est parcourue dans le sens antihoraire. Le vecteur normal pour \(\cS\) qui est compatible avec cette orientation de \(\cC\) doit donc avoir une composante \(\vk\) positive. Nous choisissons donc le signe \(+\) dans la formule (✶✶) de notre inventaire de formules 4.7.17. Nous calculons alors
La symétrie de \(\cR\) et le fait que les intégrandes des deuxième et troisième intégrales sont des fonctions impaires font en sorte que ces deux intégrales sont nulles. Afin de calculer celle qui compte, nous utilisons les coordonnées polaires pour obtenir
L’induction magnétique est un processus physique par lequel une différence de potentiel (un voltage) est induite par un champ magnétique qui varie dans le temps. Ce processus est exploité dans de nombreuses applications, notamment les générateurs électriques, les moteurs à induction, la cuisson par induction, le soudage par induction et le chargement par induction. On attribue généralement à Michael Faraday 3
Michael Faraday (1791-1867) était un physicien et chimiste anglais. Il est devenu un scientifique extrêmement influent bien qu’il n’ait reçu qu’une éducation formelle des plus élémentaires.
la découverte de l’induction magnétique. La loi de Faraday est la suivante. Soit \(\cS\) une surface orientée de bord \(\cC\text{.}\) Soit \(\vE\) et \(\vB\) les champs électrique et magnétique (qui varient avec le temps). On pose alors
\begin{align*}
\oint_{\cC}\vE\cdot \dee{\vr}&=\text{tension le long de }\cC,\\
\iint_{\cS}\vB\cdot \vn \,\dee{S}&=\text{flux magnétique à travers }\cS.
\end{align*}
En effet, soit \(\vG=\Big(\vnabla\times\vE+\frac{\partial\vB}{\partial t}\Big)\) et supposons qu’il existe un point \(\vx_0\) tel que \(\vG(\vx_0)\ne \vZero\text{.}\) Soit un vecteur unitaire \(\vn\) dans la direction \(\vG(\vx_0)\text{.}\) Soit en plus \(\cS\) un petit disque centré à \(\vx_0\text{,}\) de vecteur normal \(\vn\text{.}\) Alors, \(\vG(\vx_0)\cdot\vn \gt 0\) et, si nous choisissons notre disque suffisamment petit, la continuité de \(\vG\) donnera que \(\vG(\vx)\cdot\vn \gt 0\) pour tout \(\vx\) sur \(\cS\text{.}\) Alors, \(\iint_{\cS}\Big(\vnabla\times\vE+\frac{\partial\vB}{\partial t}\Big)\cdot \vn\,\dee{S} \gt 0\text{,}\) une contradiction.
Chacune des figures ci-bas contient une esquisse d’une surface \(\cS\) et son bord \(\partial \cS\text{.}\) Le théorème de Stokes dit que \(\int_{\partial \cS} \vF\cdot \dee{\vr} =\iint_{\cS} \vnabla \times \vF \cdot \vn\,\dee{S}\) lorsque \(\vn\) est un vecteur unitaire normal à \(\cS\) compatible avec l’orientation du bord. Dans chaque cas, esquisser un vecteur normal unitaire convenable.
le bord \(\cC\) de \(\cR\) est formé d’une seule courbe fermée, simple et lisse par morceaux
qui est orientée de façon compatible avec l’orientation de \(\cR\text{,}\) c’est-à-dire de sorte que si l’on marche le long de \(\cC\) dans le sens donné, alors \(\cR\) est à gauche;
Montrer que \({\int_\cC\phi\vnabla\psi\cdot \dee{\vr}=-\int_\cC\psi\vnabla\phi\cdot \dee{\vr}}\) pour toute paire de fonctions \(\phi\) et \(\psi\) qui ont des dérivées de premier ordre continues et toute courbe \(\cC\) qui est le bord d’une surface orientable lisse par morceaux.
Soit \(\cC\) la courbe intersection du cylindre \(x^2+y^2=1\) avec la surface \(z=y^2\text{,}\) orientée dans le sens contraire des aiguilles d’une montre lorsque vue d’en haut. Soit \({\vF=(x^2-y)\,\vi+(y^2+x)\,\vj+\vk}\text{.}\) Calculer \(\int_{\cC}\vF\cdot \dee{\vr}\)
Trouver la valeur de \(\iint_{\cS} \vnabla \times \vF \cdot \vn\,\dee{S}\text{,}\) où \({\vF = (z - y)\,\vi + x\,\vj - x\,\vk}\) et \(\cS\) est l’hémisphère
\begin{gather*}
\Set{(x, y, z) \in\R^3 }{ x^2 + y^2 + z^2 = 4,\ z \geqslant 0}
\end{gather*}
orienté de sorte que le vecteur normal unitaire pointe en s’éloignant du centre de l’hémisphère.
Soit \(\cS\) la portion de la surface \({z=16-(x^2+y^2)^2}\) qui se trouve au-dessus du plan \(xy\text{.}\) Soit \({\vF = x\ln(1+z) \, \vi + x(3+y) \, \vj + y\cos z \, \vk}\text{.}\) Calculer
Soit \(\cC\) l’intersection du paraboloïde \(z=4-x^2-y^2\) et du cylindre \(x^2+(y-1)^2=1\text{,}\) orientée dans le sens contraire des aiguilles d’une montre lorsque vue d’en haut. Soit \({\vF=xz\,\vi+x\,\vj+yz\,\vk}\text{.}\) Trouver \(\int_{\cC}\vF\cdot \dee{\vr}\text{.}\)
Soit \({\vF = - ye^z\,\vi + x^3\cos z\,\vj + z\sin(xy)\,\vk}\) et \(\cS\) la portion de la surface \({z = (1-x^2)(1-y^2)}\) qui se trouve au-dessus du carré \({-1\leqslant x\leqslant 1}\text{,}\)\({-1\leqslant y\leqslant 1}\) du plan \(xy\text{.}\) Trouver le flux de \(\vnabla\times \vF\) vers le haut à travers \(\cS\text{.}\)
Calculer l’intégrale \(\int_{\cC}\vF\cdot \dee{\vr}\text{,}\) avec \({\vF = (e^{x^2} - yz)\,\vi + (\sin y - yz)\,\vj + (xz + 2y)\,\vk}\) et \(\cC\) le parcours triangulaire de \((1, 0, 0)\) à \((0, 1, 0)\) puis à \((0, 0, 1)\) et qui retourne à \((1, 0, 0)\text{.}\)
Soit \({\vF=-z\,\vi+x\,\vj+y\,\vk}\) un champ de vecteurs. Utiliser le théorème de Stokes pour calculer \(\int_{\cC}\vF\cdot \dee{\vr}\text{,}\) où \(\cC\) est l’intersection du plan \(z=y\) et de l’ellipsoïde \({\tfrac{x^2}{4}+\tfrac{y^2}{2}+\tfrac{z^2}{2}=1}\text{,}\) orientée dans le sens contraire des aiguilles d’une montre lorsque vue d’en haut.
Considérer le champ de vecteurs \({\vF = z^2 \,\vi + x^2 \,\vj + y^2\,\vk}\) dans \(\R^3\text{.}\)
Calculer l’intégrale de ligne \(I_1 = \int_{\cC_1}\vF\cdot\dee{\vr}\) lorsque \(\cC_1\) est la courbe formée par les segments de droites \(L_1\) de \((2, 0, 0)\) à \((0, 2, 0)\text{,}\)\(L_2\) de \((0, 2, 0)\) à \((0, 0, 2)\) et finalement \(L_3\) de \((0, 0, 2)\) à \((2, 0, 0)\text{.}\)
Soit \(\cC_2\) une courbe fermée simple du plan \({x + y + z = 2}\text{,}\) qui délimite une région \(\cR\) de ce plan d’aire \(3\) et qui est orientée dans le sens contraire des aiguilles d’une montre lorsque vue du demi-axe des \(x\) positifs. Calculer l’intégrale \(I_2 = \int_{\cC_2}\vF\cdot\dee{\vr}\text{.}\)
Faire une esquisse de \(\cC\) montrant chacune des portions \(\cC_1\text{,}\)\(\cC_2\) et \(\cC_3\) en indiquant les orientations induites par les paramétrages donnés.
On considère le cône \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\text{.}\) Noter que son sommet se trouve à l’origine \((0, 0, 0)\text{.}\) Le cône est orienté de sorte que, en chaque point, le vecteur normal pointe vers le bas (et en s’éloignant de l’axe des \(z\)). Dans les questions qui suivent, tant \(\cS_1\) que \(\cS_2\) sont orientées de la sorte.
Soit \(\cS_1\) la portion du cône qui se trouve entre les plans \(z = 0\) et \(z = 4\text{.}\) Noter que \(\cS_1\) n’inclut aucune portion du plan \(z = 4\text{.}\) Utiliser le théorème de Stokes pour calculer la valeur de
Soit \(\cS_2\) la portion du cône qui se trouve au-dessous du plan \(z = 4\) et au-dessus du plan \(z = 1\text{.}\) Noter que \(\cS_2\) n’inclut aucune région des plans \(z = 1\) ou \(z = 4\text{.}\) Déterminer le flux de \(\vnabla\times\vF\) à travers \(\cS_2\text{.}\) Justifier en incluant une esquisse de \(\cS_2\) qui inclut son orientation ainsi que celle des contours d’intégration.
Soit \(\cC\) la courbe d’intersection du plan \(z = x + 4\) et du cylindre \(x^2 + y^2 = 4\text{,}\) parcourue dans le sens des aiguilles d’une montre lorsque vue d’au-dessus.
Une courbe fermée, simple et lisse par morceaux \(\cC\) se trouve sur le plan \(x + y + z = 1\text{.}\) La région du plan que la courbe \(\cC\) délimite a une aire égale à \(5\text{.}\) La courbe \(\cC\) est orientée dans le sens des aiguilles d’une montre lorsque vue du demi-axe positif des \(z\text{.}\)
Soit \(\cC\) la courbe fermée formée par les segments de droites allant de \((0, 0, 0)\) à \((0, 1, 1)\text{,}\) de \((0, 1, 1)\) à \((0, 1, 2)\text{,}\) de \((0, 1, 2)\) à \((0, 2, 0)\text{,}\) de \((0, 2, 0)\) à \((2, 2, 0)\) et de \((2, 2, 0)\) à \((0, 0, 0)\text{.}\) Soit
Soit \(\cC\) l’intersection du cylindre \(x^2 + y^2 = 1\) avec la surface \(z = xy^2\text{,}\) parcourue dans le sens des aiguilles d’une montre lorsque vue d’en haut. Calculer
Calculer \(\iint_{\cS} \vnabla\times\vF\cdot\vn\,\dee{S}\text{,}\) où \(\cS\) est la portion de la sphère \(x^2+y^2+z^2=2\) au-dessus du plan \(z=1\text{,}\)\(\vn\) pointe vers le haut et
le long du chemin formé par les segments de droites joignant successivement les points \(P_0(0, 0, 0)\text{,}\)\(P_1(\tfrac{\pi}{2}, 0, 0)\text{,}\)\(P_2(\tfrac{\pi}{2}, 0, 1)\text{,}\)\(P_3(0, 0, 1)\text{,}\)\(P_4(0, \tfrac{\pi}{2}, 1)\) et \(P_5(0, \tfrac{\pi}{2}, 0)\text{,}\) puis de retour à \((0, 0, 0)\text{.}\)
et \(\cC\) la courbe orientée formée des segments de droites joignant successivement les points \((0,0,0)\text{,}\)\((2,0,0)\text{,}\)\((0,0,2)\text{,}\)\((0,3,0)\) et de retour à \((0,0,0)\text{.}\)
Calculer \(\iint_{\cS}\vnabla\times\vF\cdot\vn\,\dee{S}\text{,}\) où \({\vF=y\,\vi+2z\,\vj+3x\,\vk}\) et \(\cS\) est la demi-sphère d’équation \({z=\sqrt{1-x^2-y^2}}\) orientée par un vecteur normal unitaire \(\vn\) vérifiant \(\vn\cdot\vk\geqslant 0\text{.}\)
Soit \(\cS\) la surface \(x^2 + y^2 + 2(z-1)^2 = 6\text{,}\)\(z \geqslant 0,\) orientée par le vecteur normal unitaire qui pointe vers l’extérieur (par exemple, au point le plus haut de la surface, le vecteur normal est \(\vk\)).
Soit \(\cC\) un cercle de rayon \(R\) contenu dans le plan \(x+y+z=3\text{.}\) Utiliser le théorème de Stokes pour calculer \(\int_{\cC}\vF\cdot \dee{\vr}\text{,}\) où \({\vF=z^2\,\vi+x^2\,\vj+y^2\,\vk}\) (utiliser n’importe quelle orientation du cercle).
Soit \(\cS\) la surface formée de la partie supérieure et des 4 faces latérales du cube de sommets \((\pm 1, \pm 1, \pm 1)\text{,}\) orientée vers l’extérieur du cube. Si \({\vF=xyz\,\vi+xy^2\,\vj+x^2yz\,\vk}\text{,}\) trouver le flux de \(\vnabla\times\vF\) à travers \(\cS\text{.}\)
Soit \(\cC\) le bord de \(\cS\) avec l’orientation donnée par le vecteur normal pointant vers le haut. Trouver \({\int_{\cC} y\,\dee{x}-x\,\dee{y}+ xy\,\dee{z}}\text{.}\)
Soit \(\cC\) l’intersection de \(x+2y-z=7\) et \(x^2-2x+4y^2=15\text{.}\) La courbe \(\cC\) est orientée dans le sens contraire des aiguilles d’une montre lorsque vue d’en haut. Soit
Soit \(\cC\) la courbe dans \(\R^3\) allant de \((0, 0, 0)\) au point \((2, 0, 0)\text{,}\) formée de trois segments de droites consécutifs : de \((0, 0, 0)\) à \((0, 0, 3)\text{,}\) de \((0, 0, 3)\) à \((0, 1, 0)\) et de \((0, 1, 0)\) à \((2, 0, 0)\text{.}\) Calculer
Soit \(\cS\) la surface en forme de seau formée par la portion du cylindre \(y^2 + z^2 = 9\) comprise entre \(x = 0\) et \(x = 5\) ainsi que par le disque sur le plan \(yz\) de rayon \(3\) centré à l’origine (le seau \(\cS\) a une partie inférieure, mais pas de couvercle). Orienter \(\cS\) de sorte que le vecteur normal pointe vers l’extérieur. Calculer le flux de \(\vnabla\times\vG\) à travers \(\cS\text{,}\) lorsque \({\vG = x\,\vi - z\,\vj + y\,\vk}\text{.}\)
Soit \(\cC\) le carré dont les sommets sont \((3 \pm 1, 3 \pm 1, 2)\text{,}\) orienté dans le sens des aiguilles d’une montre lorsque vu d’en haut. Calculer
pour certains nombres réels \(a\) et \(b\text{.}\) De plus, il est connu que \(\vF = \vnabla\times\vG\) pour un certain champ différentiable \(\vG\text{.}\)
où \(\cS\) est la portion de l’ellipsoïde \({x^2 + y^2 + \tfrac{1}{4} z^2 = 1}\) telle que \(z \geqslant 0\text{,}\) orientée de sorte que le vecteur normal ait une composante \(z\) positive.
Soit \(\cC\) la courbe dans le plan \(xy\) allant du point \((0, 0)\) à \((5, 5)\) formée par les segments de droites reliant successivement les points \((0,0)\text{,}\)\((0,1)\text{,}\)\((1,1)\text{,}\)\((1,2)\text{,}\)\((2,2)\text{,}\)\((2,3)\text{,}\)\((3,3)\text{,}\)\((3,4)\text{,}\)\((4,4)\text{,}\)\((4,5)\) et \((5,5)\text{.}\) Calculer
Soit \({\vF = \sin(x^2)\,\vi + xz\,\vj + z^2\,\vk}\text{.}\) Calculer \(\int_{\cC}\vF\cdot\dee{\vr}\) le long de la courbe \(\cC\) qui est l’intersection du cylindre \(x^2+y^2=4\) avec la surface \(z=x^2\text{,}\) parcourue dans le sens contraire des aiguilles d’une montre lorsque vue d’en haut.
Réécrire \(\oint_{\cC}\vE\cdot\dee{\vr}\) comme une intégrale de surface. Puis utiliser le fait que si l’intégrale d’une fonction continue est nulle sur toute région, alors la fonction elle-même est nulle.
lorsque \(\cC\) est la courbe fermée donnée par l’intersection du plan \(x+y+z=1\) avec la sphère \(x^2+y^2+z^2=1\text{.}\) La courbe \(\cC\) est orientée dans le sens des aiguilles d’une montre lorsque vue de l’origine.
Un champ de vecteurs \(\vF\) a pour rotationnel \(\vnabla\times \vF= x\, \vi + y\, \vj -2 z\,\vk\text{.}\) Sur le plan \(xz\text{,}\) le champ est constant, avec \(\vF(x,0,z)=\vj\text{.}\) Avec cette information, calculer
Un paramétrage possible est \({\vr(r, \theta) = r\cos \theta\, \vi +r\sin \theta\, \vj + r\,\vk}\) avec \(0\leqslant r\leqslant 1\) et \(0\leqslant \theta \leqslant \pi\text{.}\)
On considère \(\iint_{\cS}(\vnabla\times\vF)\cdot\vn\,\dee{S}\text{,}\) où \(\cS\) est la portion de la sphère \(x^2+y^2+z^2=1\) vérifiant \(x+y+z\geqslant 1\text{,}\)\(\vn\) est le vecteur normal qui pointe vers le haut et \({\vF=(y-z)\,\vi+(z-x)\,\vj+(x-y)\,\vk}\text{.}\) Trouver une autre surface \(\cS'\) avec la propriété que \({\iint_{\cS}(\vnabla\times\vF)\cdot\vn\,\dee{S}
=\iint_{\cS'}(\vnabla\times\vF)\cdot\vn\,\dee{S}}\) et évaluer \(\iint_{\cS'}(\vnabla\times\vF)\cdot\vn\,\dee{S}\text{.}\)
