Nous sommes maintenant en mesure de définir les dérivées partielles des fonctions de plusieurs variables. Avant de le faire, rappelons-nous de comment la dérivée \(f'(a)\) d’une fonction d’une variable a été définie. On imagine que l’on se déplace le long de l’axe des abscisses dans la direction positive et que l’on mesure, par exemple, la température que l’on note \(f(x)\text{.}\) Le taux de variation instantané de température lorsque l’on passe par \(x=a\) est
On suppose maintenant que l’on se déplace sur le plan \(Oxy\) et que la température au point \((x,y)\) est \(f(x,y)\text{.}\) On peut passer à travers le point \((x,y) = (a,b)\) en se déplaçant de plusieurs façons. Il semble irréaliste de penser que le taux de variation de la température perçue si l’on se déplace parallèlement à l’axe des \(x\) doit être égal au taux mesuré pour un déplacement parallèle à l’axe des \(y\text{.}\) Nous considérerons d’autres directions de déplacement plus tard.
Par exemple, si l’on se situe au point \((x,y)=(-1,-1)\) dans la figure ci-dessus, la température ressentie est d’autour de \(5.75\text{.}\) Si l’on se déplace dans la direction des \(x\) croissants, la température a tendance à augmenter. Si, à partir de ce même point, on se déplace plutôt dans la direction des \(y\) croissants, la variation est beaucoup plus faible, la température reste autour de \(5.75\text{.}\)
Plus généralement, supposons que nous passons par le point \((x,y)=(a,b)\) et que nous nous déplaçons parallèlement à l’axe des \(x\) (dans la direction positive). Notre ordonnée, \(y\text{,}\) reste constante : elle prend toujours la valeur \(y=b\text{.}\) Ainsi, on peut penser à la température comme à une fonction d’une seule variable \(B(x) = f(x,b)\) et l’on mesure le taux de variation de cette température :
le \(x\) dans \({\pdiff{f}{x}}\) indique qu’on dérive ou différentie par rapport à \(x\text{,}\) pendant que \(y\) est fixe, c’est-à-dire traitée comme une constante;
On prendra soin de ne pas écrire \(\diff{}{x}\) lorsque \(\pdiff{}{x}\) est requis. Nous verrons plus tard des situations dans lesquelles \(\diff{}{x}f\) et \(\pdiff{}{x}f\) sont définies, mais ont des significations différentes.
Si, d’autre part, on passe par le point \((x,y)=(a,b)\text{,}\) mais en se déplaçant parallèlement à l’axe des \(y\) (dans la direction positive), alors notre abscisse, \(x\text{,}\) sera constante, prenant toujours la valeur \(x=a\text{.}\) Ainsi, on peut penser à la température comme à une fonction d’une seule variable \(A(y) = f(a,y)\) et l’on observe le taux de variation de température :
Tout comme dans le cas des dérivées ordinaires \(\diff{f}{x}(x)\text{,}\) il est usuel de traiter les dérivées partielles de \(f(x,y)\) comme des fonctions de \((x,y)\) simplement en évaluant la dérivée partielle au point \((x,y)\) plutôt qu’en \((a,b)\text{.}\)
L’indice \(1\) dans \(D_1 f\) signifie que \(f\) est différentiée par rapport à sa première variable. La dérivée partielle \(\pdiff{f}{x}(a,b)\) est aussi notée \(\pdiff{f}{x}\big|_{(a,b)} \text{,}\) où la barre verticale et l’indice \((a,b)\) servent à indiquer que \(\pdiff{f}{x}\) est évaluée au point \((x,y)=(a,b)\text{.}\)
La notation \({\left(\pdiff{f}{x}\right)}_{\!y}\) est utilisée pour rendre explicite le fait que la variable \(y\) est maintenue constante 1
Il existe des applications dans lesquelles il y a plusieurs variables qui ne peuvent pas varier de façon indépendante. Par exemple, la pression, le volume et la température d’un gaz idéal sont liés par l’équation \(PV= \text{(constante)} T\text{.}\) Dans ces applications, savoir quelles sont les variables qui sont maintenues fixes peut être ambigu.
en termes du graphe \(z=f(x,y)\) de la fonction \(f(x,y)\text{.}\) Ce graphe est illustré dans la figure ci-bas. Il ressemble à une partie d’une sphère un peu déformée dans le premier octant.
La définition de \(\pdiff{f}{x}(a,b)\) fait intervenir seulement des points sur le graphe qui satisfont \(y=b\text{,}\) c’est-à-dire des points sur la courbe intersection de la surface \(z=f(x,y)\) avec le plan \(y=b\text{.}\) Il s’agit de la courbe rouge dans la figure. Les deux segments verticaux bleus ont des hauteurs \(f(a,b)\) et \(f(a+h,b)\text{,}\) qui sont les deux termes dans le numérateur de \(\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h}\text{.}\)
Une vue de côté (en regardant du côté gauche de l’axe des \(y\)) est esquissée dans la figure ci-contre. De nouveau, les deux segments verticaux bleus ont des longueurs \(f(a,b)\) et \(f(a+h,b)\text{,}\) qui sont les deux termes du numérateur de \(\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h}\text{.}\)
Ainsi, le numérateur \(f(a+h,b) - f(a,b)\) et le dénominateur \(h\) sont respectivement la variation verticale et la variation horizontale de la courbe \(z=f(x,b)\) de \(x=a\) à \(x=a+h\text{.}\) Ainsi, \(\pdiff{f}{x}(a,b)\) est précisément la pente de (la tangente à) la courbe intersection de la surface \(z=f(x,y)\) avec le plan \(y=b\) au point \(\left(a,b, f(a,b)\right)\text{.}\)
De la même façon, \(\pdiff{f}{y}(a,b)\) est la pente de (la tangente à) la courbe intersection de la surface \(z=f(x,y)\) avec le plan \(x=a\) au point \(\left(a,b, f(a,b)\right)\text{.}\)
Il suit de la discussion ci-haut que l’on peut calculer les dérivées partielles \(\pdiff{}{x}\) en tirant profit de ce que l’on connaît au sujet des dérivées usuelles \(\diff{}{x}\text{.}\) Plus précisément :
Pour évaluer \(\pdiff{f}{x}(x,y)\text{,}\) on traite \(y\) dans \(f(x,y)\) comme une constante et l’on dérive la fonction de \(x\) qui en résulte selon les règles usuelles.
Pour évaluer \(\pdiff{f}{y}(x,y)\text{,}\) on traite \(x\) dans \(f(x,y)\) comme une constante et l’on dérive la fonction de \(y\) qui en résulte selon les règles usuelles.
Pour évaluer \(\pdiff{f}{x}(a,b)\text{,}\) on traite \(y\) dans \(f(x,y)\) comme une constante et l’on dérive par rapport à \(x\) selon les règles usuelles, puis on évalue en \(x=a\text{,}\)\(y=b\text{.}\)
Pour évaluer \(\pdiff{f}{y}(a,b)\text{,}\) on traite \(x\) dans \(f(x,y)\) comme une constante et l’on dérive par rapport à \(y\) selon les règles usuelles, puis on évalue en \(x=a\text{,}\)\(y=b\text{.}\)
Voyons maintenant un exemple plus complexe : la fonction prend une valeur particulière à \((0,0)\text{.}\) Afin de calculer les dérivées partielles, il faut utiliser la définition.
Si \(b\ne a\text{,}\) alors pour tout \((x,y)\) suffisamment près de \((a,b)\text{,}\)\(f(x,y) = \frac{\cos x-\cos y}{x-y}\text{,}\) et l’on peut calculer les dérivées partielles de \(f\) au point \((a,b)\) avec les règles usuelles de calcul. Cependant, les choses sont différentes si \((a,b)=(0,0)\text{.}\) Pour calculer \(f_x(0,0)\text{,}\) on doit faire \(y=0\) et trouver la dérivée de
par rapport à \(x\) au point \(x=0\text{.}\) Comme on ne peut pas utiliser les règles usuelles, on doit utiliser la définition pour calculer la dérivée :
On peut aussi utiliser la séries de Taylor pour comprendre le comportement de \(f(x,y)\) lorsque \((x,y)\) est près de \((0,0)\text{.}\) Pour \(x\ne y\text{,}\)
Remarquons que cet exemple montre que l’existence des dérivées partielles n’entraîne pas la continuité, contrairement au cas des fonctions à une variable où la dérivabilité en un point entraîne la continuité. Nous pouvons examiner davantage cet exemple.
On applique maintenant la règle de l’Hôpital, en gardant à l’esprit que, pour le calcul de cette limite, \(x\) est une constante et \(h\) est la variable : on doit donc dériver par rapport à \(h\text{.}\)
Notons, d’une part, que si \(x\) n’est pas un multiple entier de \(\pi\text{,}\) alors le numérateur \(-\sin(x+h)\)ne tend pas vers zéro lorsque \(h\) tend vers zéro, et la limite définissant \(f_y(x,y)\) n’existe pas. D’autre part, si \(x\) est un multiple entier de \(\pi\text{,}\) alors le numérateur et le dénominateur tendent vers zéro lorsque \(h\) le fait, et l’on peut appliquer la règle de l’Hôpital de nouveau.
n’est pas continue à \((0,0)\text{,}\) mais que les deux dérivées partielles \(f_x(0,0)\) et \(f_y(0,0)\) existent. Calculons les dérivées partielles. Par définition,
Pour voir que, néanmoins, \(f(x,y)\) n’est pas continue à \((0,0)\text{,}\) on considère la limite de \(f(x,y)\) lorsque \((x,y)\) tend vers \((0,0)\) le long de la courbe \(y=x-x^3\text{.}\) Cette limite est
qui n’existe pas. En effet, lorsque \(x\) tend vers \(0\) par la droite, \(\frac{1}{x}\) tend vers \(+\infty\text{,}\) et lorsque \(x\) tend vers \(0\) par la gauche, \(\frac{1}{x}\) tend vers \(-\infty\text{.}\)
Regardons de plus près comment ceci est possible. Il se trouve que \(f_x(0,0)\) fait intervenir seulement des valeurs de \(f(x,y)\) avec \(y=0\text{.}\) D’une part, comme \(f(x,0)=x\text{,}\) pour toute valeur de \(x\text{,}\) on a que \(f(x,0)\) est continue et différentiable. Quelque chose de semblable arrive pour \(f_y(0,0)\text{.}\) D’autre part, le mauvais comportement de \(f(x,y)\) pour \((x,y)\) près de \((0,0)\) se présente seulement lorsque \(x\) et \(y\) sont tous les deux non nuls.
L’observation cruciale est que, lorsque l’on prend la limite pour \(z\rightarrow 0\text{,}\)\(x\) et \(y\) sont fixes. Ainsi, ils ne varient pas à mesure que \(z\) devient de plus en plus petit. De plus, cette limite est exactement de la forme de celles qui apparaissent dans la définition des dérivées partielles (voir définition 2.3.2).
Rappelons que \(\pdiff{}{z}\) traite \(x\) et \(y\) comme des constantes et donc que nous évaluons une fonction de la forme \(\frac{({\rm const}+z)^3}{\rm const}\text{.}\) Ainsi,
Quoique les ressemblances avec le cas des fonctions à une variable soient grandes, nous avons déjà rencontré une différence significative : l’existence des dérivées partielles ne garantit pas la continuité.
Voyons maintenant une autre différence qui est souvent source d’erreur. Si \(y=y(x)\) est donnée et que l’on peut résoudre pour \(x\) en fonction de \(y\) et écrire \(x = x(y)\text{,}\) alors on aura
Il est tentant de penser que ceci tient, car il suffit « d’inverser une fraction », mais il n’en est rien. La validité de la formule ci-haut repose sur la dérivation des fonctions composées. L’exemple suivant montre que la formule analogue pour les fonctions à plusieurs variables n’est pas valable, c’est-à-dire qu’on n’a généralement pas l’égalité
Comme dans le cas des fonctions à une variable, la règle de dérivation des fonctions composées fournira un résultat semblable, mais nous devons patienter quelques sections avant de le présenter.
D’une part, lorsqu’on calcule \(\pdiff{x}{r}(r_0,\theta_0)\text{,}\)\(\theta_0\) est maintenu constant, \(r\) varie d’une petite quantité \(\dee{r}\text{,}\) et la variation résultante en \(x\) est calculée par \(\dee{x}=x(r_0+\dee{r},\theta_0) - x(r_0,\theta_0)\text{.}\) Dans la figure de gauche, \(\dee{r}\) est la longueur du segment orange, et \(\dee{x}\) est la longueur du segment bleu.
D’autre part, lorsqu’on calcule \(\pdiff{r}{x}\text{,}\)\(y\) est maintenu fixe, tandis que \(x\) change d’une petite quantité \(\dee{x}\text{,}\) et la variation résultante en \(r\) est donnée par \(\dee{r} = r(x_0+\dee{x},y_0) - r(x_0,y_0)\text{.}\) Dans la figure de droite ci-haut, \(\dee{x}\) est la longueur du segment rose tandis que \(\dee{r}\) est la longueur du segment orange.
Ci-bas, on présente les deux figures ensemble. Nous avons arrangé les choses pour avoir le même \(\dee{r}\) dans les calculs. Afin que les deux \(\dee{r}\) soient le même, les deux \(\dee{x}\) doivent être différents (sauf si \(\theta_0=0,\pi\)). Ainsi, en général, \(\pdiff{x}{r}(r_0,\theta_0)\ne \left(\pdiff{r}{x}(x_0,y_0)\right)^{-1}\text{.}\)
Nous avons déjà observé dans les cours de calcul précédents que si \(f(x)\) est une fonction \(x\text{,}\) alors sa dérivée, \(\diff{f}{x}(x)\text{,}\) en est une aussi et peut donc être dérivée pour obtenir la dérivée seconde \(\difftwo{f}{x}(x)\text{,}\) qui peut à son tour être dérivée pour obtenir la dérivée tierce \(f^{(3)}(x)\text{,}\) et ainsi de suite.
On peut faire la même chose pour les fonctions de plus de deux variables. Si \(f(x,y)\) est une fonction de \(x\) et \(y\text{,}\) alors ses dérivées partielles \(\pdiff{f}{x}(x,y)\) et \(\pdiff{f}{y}(x,y)\) sont aussi des fonctions de \(x\) et \(y\text{.}\) Elles peuvent donc être dérivées par rapport à \(x\) et à \(y\text{.}\) Ainsi, il y a quatre possibles dérivées du deuxième ordre pour \(f\text{,}\) les voici avec les différentes notations qu’on utilise :
Notons que, dans \(\frac{\partial^2\ f}{\partial y\,\partial x}
=\frac{\partial^2}{\partial y\,\partial x}f\text{,}\) la dérivée qui est le plus près de \(f\text{,}\) dans ce cas \(\pdiff{}{x}\text{,}\) est effectuée en premier.
Lorsqu’on écrit \(f_{xy}\text{,}\) la dérivée par rapport à la variable apparaissant le plus près de \(f\text{,}\) dans ce cas \(x\text{,}\) est appliquée en premier.
Dans tous ces exemples, l’ordre pour le calcul des dérivées partielles est sans importance. Le théorème ci-après 2
L’histoire de ce théorème important est assez alambiquée. Voir « A Note on the History of Mixed Partial Derivatives », par Thomas James Higgins, publié dans Scripta Mathematica7 (1940), 59-62. Le théorème est nommé en l’honneur du mathématicien, astronome et géophysicien français Alexis Clairaut (1713-1765) et de Hermann Schwarz (1843-1921), un mathématicien allemand.
Soit \(f\) une fonction de deux variables telle que les dérivées partielles \(\frac{\partial^2 f }{\partial x\partial y}\) et \(\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\) existent et sont continues dans un voisinage de \((x_0,y_0)\) 3
C’est-à-dire qu’il existe \(\e \gt 0\) tel que les dérivées secondes sont continues en tout point \((x,y)\) vérifiant \(\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \lt \e\text{.}\)
On définit \(F(h,k)\) de cette façon parce que les dérivées partielles \(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)\) et \(\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0)\) sont limites de \(F(h,k)\) lorsque \(h,k\rightarrow 0\text{.}\) Précisément, on montre dans l’élément (1) (voir les détails dans le paragraphe suivant) que
pour certains réels \(0 \lt \theta_1,\theta_2,\theta_3,\theta_4 \lt 1\text{.}\) Tous les réels \(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\theta_4\) dépendent de \(x_0,y_0,h,k\text{.}\) Ainsi,
pour tout \(h\) et \(k\text{.}\) En prenant la limite lorsque \((h,k) \rightarrow(0,0) \) et en vertu de la continuité des dérivées partielles au point \((x_0,y_0)\text{,}\) on obtient
Utilisons le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction \(G(y)=f(x_0+h,y)-f(x_0,y)\) (donc avec \(y\) dans le rôle de \(x\)), ce qui donne
\begin{align*}
\frac{G(y_0+k)-G(y_0)}{k}
&=\diff{G}{y}(y_0+\theta_1 k)
\qquad (\text{pour un certain } 0 \lt \theta_1 \lt 1)\\
&=\pdiff{f}{y}(x_0+h,y_0+\theta_1k)
-\pdiff{f}{y}(x_0,y_0+\theta_1k)\text{.}
\end{align*}
Ainsi, pour un certain \(0 \lt \theta_1 \lt 1\text{,}\)
Exemple2.3.20.Un exemple où \(\frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)
\ne\frac{\partial^2\ f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0)\).
Dans le théorème 2.3.19, nous avons montré que \(\frac{\partial^2 f }{\partial x\partial y}(x_0,y_0)
=\frac{\partial^2 f }{\partial y\partial x}(x_0,y_0)\)si les dérivées partielles \(\frac{\partial^2 f }{\partial x\partial y}\) et \(\frac{\partial^2 f }{\partial y\partial x}\) existent et sont continues en \((x_0,y_0)\text{.}\) Cet exemple montre que ces hypothèses ne peuvent pas être relâchées : si \(\frac{\partial^2 f }{\partial x\partial y}\) et \(\frac{\partial^2 f }{\partial y\partial x}\) sont discontinues en \((x_0,y_0)\text{,}\) alors on peut avoir \(\frac{\partial^2 f }{\partial x\partial y}(x_0,y_0)
\ne\frac{\partial^2 f }{\partial y\partial x}(x_0,y_0)\text{.}\)
La fonction est continue partout. Remarquons aussi que \(f(x,0)=0\) pour tout \(x\) et que \(f(0,y)=0\) pour tout \(y\text{.}\) Calculons les dérivées partielles du premier ordre. Pour \((x,y)\ne (0,0)\text{,}\)
Considérez le cylindre dont la base est le cercle de rayon 1 dans le plan \(xy\) centré à \((0,0)\text{,}\) et dont la pente est parallèle à la droite dans le plan \(yz\) donnée par \(z=y\text{.}\)
Quand vous vous tenez au point \((0,-1,0)\text{,}\) quelle est la pente de la surface si vous regardez dans la direction des \(y\) positifs? Dans la direction des \(x\) positifs?
Vous traversez un paysage vallonné. Considérez que l’axe des \(z\) pointe vers le ciel, que l’axe des \(x\) positifs pointe vers le sud, et que l’axe des \(y\) positifs pointe vers l’est. Alors le paysage autour de vous est décrit par l’équation \(z=f(x,y)\text{,}\) avec vous au point \((0,0,f(0,0))\text{.}\) La fonction \(f(x,y)\) est différentiable.
Fixons n’importe quel nombre réel \(x\) et posons \(g(y,z)=f_x(x,y,z)\text{.}\) Par le Théorème de Clairaut, Théorème 2.3.19\(g_{yz}(y,z)=g_{zy}(y,z)\text{,}\) ainsi
Fixons n’importe quel nombre réel \(y\) et posons \(g(x,z)=f_y(x,y,z)\text{.}\) Par le théorème de Clairaut Théorème 2.3.19\(g_{xz}(x,z)=g_{zx}(x,z)\text{.}\) Ainsi,
Fixons n’importe quel nombre réel \(z\) et posons \(g(x,y)=f_z(x,y,z)\text{.}\) Par le Théorème de Clairaut, Théorème 2.3.19\(g_{xy}(x,y)=g_{yx}(x,y)\text{.}\) Ainsi,
Soit \(f(r,\theta)=r^m\cos m\theta\) une fonction de \(r\) et de \(\theta\text{,}\) où \(m\) est un entier positif.
Trouvez les dérivées partielles de deuxième ordre \(f_{rr}\text{,}\)\(f_{r\theta}\text{,}\)\(f_{\theta\theta}\) et évaluez leurs valeurs respectives à \((r,\theta)=(1,0)\text{.}\)
Soit \(\a \gt 0\) une constante. Montrez que \(\displaystyle u(x,y,z,t) =\frac{1}{t^{3/2}}
e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\a t)}\) satisfait l’équation de la chaleur
