Section A.1 Points et coordonnées en deux et trois dimensions

L’ensemble des points du plan est noté \(\R^2\) (sans surprise, le \(2\) dans \(\R^2\) signifie que chaque point est étiqueté par deux nombres; le \(\R\) dans \(\R^2\) veut dire que ce sont deux nombres réels). On dit que \(x\) est l’abscisse du point et que \(y\) en est l’ordonnée.

Remarquons que :

la distance du point \((x,y)\) à l’axe des abscisses est \(|y|\text{;}\)
si \(y\gt 0\text{,}\) alors \((x,y)\) se trouve au-dessus de l’axe des abscisses, et si \(y\lt 0\text{,}\) alors \((x,y)\) se trouve au-dessous de cet axe;
la distance du point \((x,y)\) à l’axe des \(y\) est \(|x|\text{;}\)
si \(x\gt 0\text{,}\) alors \((x,y)\) se trouve à la droite de l’axe des \(y\text{,}\) et si \(x\lt 0\text{,}\) alors \((x,y)\) se trouve à la gauche de l’axe;
la distance du point \((x,y)\) à l’origine \((0,0)\) est \(\sqrt{x^2+y^2}\text{.}\)

De la même façon, un point dans l’espace tridimensionnel peut être étiqueté par trois coordonnées \((x,y,z)\text{,}\) tel qu’illustré dans les figures ci-après.

L’ensemble formé par les points dans l’espace tridimensionnel est \(\R^3\text{.}\) Le plan qui contient, entre autres, les axes des abscisses et des coordonnées est appelé le plan \(xy\text{.}\)

Le plan \(Oxy\) est l’ensemble des points \((x,y,z)\) tels que \(z=0\text{.}\)
Le plan \(Oxz\) est l’ensemble des points \((x,y,z)\) tels que \(y=0\text{.}\)
Le plan \(Oyz\) est l’ensemble des points \((x,y,z)\) tels que \(x=0\text{.}\)

Plus généralement :

L’ensemble des points \((x,y,z)\) vérifiant \(z=c\) est un plan parallèle au plan \(Oxy\) et se trouve à une distance \(|c|\) de celui-ci. Si \(c \gt 0\text{,}\) le plan \(z=c\) est au-dessus du plan \(Oxy\text{.}\) Si \(c \lt 0\text{,}\) le plan \(z=c\) est au-dessous du plan \(Oxy\text{.}\) On dit que le plan \(z=c\) est à une distance signée \(c\)
¹

C’est-à-dire une distance affectée en plus d’un signe indiquant une direction.
du plan \(Oxy\text{.}\)
L’ensemble des points \((x,y,z)\) vérifiant \(y=b\) est un plan parallèle au plan \(Oxz\) et se trouve à une distance signée \(b\) de celui-là.
L’ensemble des points \((x,y,z)\) vérifiant \(x=a\) est un plan parallèle au plan \(Oyz\) et se trouve à une distance signée \(a\) de celui-là.

Remarquons que les distances en dimension 3 se calculent comme en dimension 2.

La distance du point \((x,y,z)\) au plan \(Oxy\) est \(|z|\text{;}\)
La distance du point \((x,y,z)\) au plan \(Oxz\) est \(|y|\text{;}\)
La distance du point \((x,y,z)\) au plan \(Oyz\) est \(|x|\text{;}\)
La distance du point \((x,y,z)\) à l’origine \((0,0,0)\) est \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\text{.}\)

Afin de voir que la distance du point \((x,y,z)\) à l’origine \((0,0,0)\) est en fait \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\text{,}\)

on applique le théorème de Pythagore au triangle rectangle de sommets \((0,0,0)\text{,}\) \((x,0,0)\) et \((x,y,0)\text{,}\) de sorte que la distance de \((0,0,0)\) à \((x,y,0)\) est \(\sqrt{x^2+y^2}\text{,}\) puis
on applique le théorème de Pythagore au triangle rectangle de sommets \((0,0,0)\text{,}\) \((x,y,0)\) et \((x,y,z)\text{,}\) ce qui donne que la distance de \((0,0,0)\) à \((x,y,z)\) est \(\sqrt{{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}^2+z^2} =\sqrt{x^2+y^2+z^2}\text{.}\)

Plus généralement, la distance du point \((x,y,z)\) au point \((x',y',z')\) est

\begin{equation*} \sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}. \end{equation*}

Remarquons que ceci fournit l’équation d’une sphère sans effort additionnel. En effet, les points d’une sphère sont les points équidistants du centre de la sphère. Ainsi, par exemple, l’équation de la sphère centrée à \((1,2,3)\) et de rayon \(4\text{,}\) c’est-à-dire l’ensemble de tous les points \((x,y,z)\) dont la distance à \((1,2,3)\) est \(4\text{,}\) est

\begin{equation*} (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=16. \end{equation*}

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