La figure de l’exemple 2.1.1. On voit comment composer une figure, étape par étape. De plus, la commande text(...) sert à ajouter des annotations. Il existe d’autres façons de le faire, par exemple en utilisant les options legend ou legend_label.
Pour tracer le graphe d’une fonction de deux variables, c’est la commande plot3d(...) qu’il faut utiliser. Voici le graphe de l’exemple 2.1.7. Noter cependant que dans le texte, la figure en question a été produite avec GeoGebra.
Plusieurs options sont disponibles, notamment on peut colorier une surface avec une couleur qui varie. Ceci utilise les « colormaps », de matplotlib. Ce sont des règles qui servent à assigner une couleur d’une échelle donnée à un nombre compris entre \(0\) et \(1\text{.}\)Ce lien mène vers les « colormaps » disponibles.
L’élément à noter est la définition de macouleur(...) : il s’agit d’une fonction qui prendra des valeurs entre \(0\) et \(1\text{.}\) Noter que dans l’exemple qui nous occupe, \(f\) varie en \(f_{min} = -100\) et \(f_{max} = 100\text{.}\) On obtiendra quelque chose qui varie entre \(0\) et \(1\) en faisant
À l’intérieur de Fig(...), la portion color=(macouleur, colormaps.Spectral) dit à SageMath d’utiliser macouleur(...) pour obtenir une valeur entre \(0\) et \(1\text{,}\) puis utiliser la règle Spectral pour assigner une couleur.
On suggère de commenter une ligne, à l’aide du caractère # en tout début de ligne, puis d’exécuter le code pour voir l’effet de chaque option. Il y a plus d’options, on pourra regarder la page de référence.
Une autre commande utile est implicit_plot3d(...). Elle a été utilisée pour produire la figure 2.1.9. Voici un exemple un peu plus simple. L’astuce ici est que les traces horizontales sont en réalité des petits morceaux de cylindres, d’une hauteur presque négligeable, en l’occurrence chaque tel cylindre va, en hauteur, de zlevel -0.02 à zlevel +0.02.
Sous-sectionDérivées partielles et champs gradients
Le calcul des dérivées partielles avec SageMath se fait avec la commande diff(...). À nouveau, plusieurs options sont disponibles : diff(f,x,1,y,2) par exemple retourne la dérivée partielle d’une fonction \(f\) (qui doit être définie) par rapport à \(x\) une fois, et par rapport à \(y\) deux fois, c’est-à-dire \(\frac{\partial^3 f}{\partial x\, \partial y^2}\text{.}\) Voici d’autres exemples.
Voyons maintenant comment représenter un champ de vecteurs, avec la commande plot_vector_field(..). Dans l’exemple ci-bas, on considère le champ\(\vF(x,y) = -y\, \vi + x\, \vj \text{,}\) celui de la figure 4.1.6.
Afin de calculer les polynômes de Taylor d’une fonction d’une ou de plusieurs variables, c’est la commande taylor(...) qu’il faut utiliser. On doit spécifier le point autour duquel on calcule le polynôme, et le degré total.
Sous-sectionPoints critiques et multiplicateurs de Lagrange
Pour trouver les points critiques d’une fonction il faut résoudre certaines équations. La commande solve(...) fait ceci. On doit lui passer en paramètres deux listes, d’abord les équations à résoudre, puis les variables pour lesquelles on veut les solutions. Ci-après on fait les calculs de l’exemple 2.8.10.
On peut aussi calculer la matrice hessienne de \(f\) évaluée en chacun de ces points. La commande ().rhs extrait le terme de droite (« right-hand side ») d’une expression donnée. Il faut garder à l’esprit que les listes sont numérotées à compter de zéro.
Voyons maintenant comment optimiser un problème avec contraintes, à l’aide des multiplicateurs de Lagrange. Nous nous servons du contexte de l’exemple 2.9.9, à savoir trouver des demi-axes de l’ellipse \(3x^2-2xy+3y^2=4\text{.}\) On doit maximiser la fonction \(f(x,y) = x^2 + y^2\text{.}\)
Pour faire ceci avec Sage, on doit introduire une variable, L, qui jouera le rôle de \(\lambda\text{.}\) Par la suite, il s’agit de former le système d’équations et de le résoudre.
