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Section 4.4 Champs conservatifs et indépendance de la trajectoire

Les champs de vecteurs ne sont pas tous créés de la même façon. En particulier, il y a des champs avec lesquels il est plus facile de travailler.
Les champs de vecteurs qui apparaissent comme gradients d’une fonction scalaire jouent un rôle crucial, tant dans les applications que dans la théorie.

Définition 4.4.1.

Un champ \(\vF\) est dit être conservatif sur une région \(\cD\) s’il existe une fonction \(f\) telle que \(\vF = \vnabla f\) sur \(\cD\text{.}\) Dans ce cas, on dit que \(f\) est une fonction potentielle pour \(\vF\text{.}\)

Mise en garde 4.4.2.

En physique, lorsqu’un champ est de la forme \(\vF=-\vnabla f \text{,}\) alors \(f\) est dite être une fonction potentielle pour \(\vF\text{:}\) notez le signe dans \(\vF=\underset{\uparrow}{-}\vnabla f \text{.}\)

Exemple 4.4.3. Énergie potentielle.

Le mot « conservatif » est là en allusion à la « conservation de l’énergie ». Imaginons que nous avons une particule de masse \(m\) qui bouge, soumise à un champ de forces \(\vF\) qui se trouve à être de la forme \(\vF=\vnabla f \) pour une certaine fonction \(f\text{.}\) Si la position de la particule au temps \(t\) est \(\vr(t) = \left(x(t),y(t),z(t)\right)\text{,}\) alors, en accord avec la loi de Newton,
\begin{align*} m\va = \vF \qquad &\implies & m\diff{\vv}{t}(t) &= \vF\left(x(t),y(t),z(t)\right)\\ &\implies & m\diff{\vv}{t}(t) &= \vnabla f \left(x(t),y(t),z(t)\right). \end{align*}
On prend le produit scalaire des deux côtés avec \(\vv(t)\text{,}\) ce qui donne
\begin{align*} m\,\vv(t)\cdot\diff{\vv}{t}(t) \amp= \vv(t)\cdot\vnabla f \left(x(t),y(t),z(t)\right)\\ \amp=x'(t)\frac{\partial f}{\partial x}\left(x(t),y(t),z(t)\right) +y'(t)\frac{\partial f}{\partial y}\left(x(t),y(t),z(t)\right)\\ & \hskip1in +z'(t)\frac{\partial f}{\partial z}\left(x(t),y(t),z(t)\right). \end{align*}
Utilisons maintenant le fait que \(\diff{}{t}\vv\cdot\vv=2\vv\cdot\diff{\vv}{t}\) ainsi que la règle de dérivation des fonctions composées pour obtenir
\begin{align*} &\implies &\ \ \diff{\ }{t}\Big(\frac{1}{2} m \vv(t)\cdot\vv(t)\Big) &= \diff{\ }{t}\Big(f\left(x(t),y(t),z(t)\right)\Big)\\ &\implies & &\hskip-1.3in\diff{\ }{t}\Big(\frac{1}{2} m \vv(t)\cdot\vv(t) -f\left(x(t),y(t),z(t)\right)\Big) =0\\ &\implies & &\hskip-1.0in\frac{1}{2} m \norm{\vv(t)}^2 -f\left(x(t),y(t),z(t)\right) = \text{const.} \end{align*}
Ainsi, \(\frac{1}{2} m \norm{\vv(t)}^2 -f\left(x(t),y(t),z(t)\right)\text{,}\) qui est appelée l’énergie
 1 
\(\frac{1}{2} m \norm{\vv(t)}^2\) est l’énergie cinétique, et \(-f\) est l’énergie potentielle. Voir la mise en garde 4.4.2.
de la particule au temps \(t\text{,}\) ne dépend pas du temps \(t\text{:}\) elle est conservée. Si nous appelons l’énergie initiale \(E\text{,}\) c’est-à-dire \(E=\frac{1}{2} m \norm{\vv(0)}^2 -f\left(x(0),y(0),z(0)\right)\text{,}\) alors \(\frac{1}{2} m \norm{\vv(t)}^2 -f\left(x(t),y(t),z(t)\right)=E\) pour tout \(t\text{,}\) et, en particulier,
\begin{gather*} f\left(x(t),y(t),z(t)\right) = \frac{1}{2} m \norm{\vv(t)}^2 -E \geqslant -E \text{,} \end{gather*}
de sorte que, même sans trouver \(\left(x(t),\,y(t),\,z(t)\right)\text{,}\) nous savons que notre particule ne pourra pas quitter la région de l’espace \(\Set{(x,y,z)}{f(x,y,z)\geqslant -E}\text{.}\)

Exemple 4.4.4. Gravité.

La force gravitationnelle qu’un corps de masse \(M\text{,}\) situé à l’origine, exerce sur un corps de masse \(m\) situé à \(\vr=(x,y,z)\) est
\begin{gather*} \vF(\vr) = -\frac{GMm}{r^3}\vr\text{,} \end{gather*}
où \(r=\norm{\vr}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) et où \(G\) est la constante gravitationnelle. La force est conservative, avec un potentiel \(f(\vr) = \frac{GMm}{r}\text{.}\) En effet, on calcule
\begin{alignat*}{2} \frac{\partial\ }{\partial x}f(\vr) &=\frac{\partial\ }{\partial x}\frac{GMm}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} &=-\frac{1}{2}\frac{GMm(2x)}{[x^2+y^2+z^2]^{3/2}} &=-\frac{GMm}{r^3}x,\\ \frac{\partial\ }{\partial y}f(\vr) &=\frac{\partial\ }{\partial y}\frac{GMm}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} &=-\frac{1}{2}\frac{GMm(2y)}{[x^2+y^2+z^2]^{3/2}} &=-\frac{GMm}{r^3}y,\\ \frac{\partial\ }{\partial z}f(\vr) &=\frac{\partial\ }{\partial z}\frac{GMm}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} &=-\frac{1}{2}\frac{GMm(2z)}{[x^2+y^2+z^2]^{3/2}} &=-\frac{GMm}{r^3}z\text{.} \end{alignat*}
Les exemples précédents contiennent le germe de l’idée de ce qu’on appelle le théorème fondamental pour les intégrales de ligne. Supposons que nous nous déplaçons sur une surface \(\cS\) d’équation \(z= f(x,y)\) entre deux points \(P_0\) et \(P_1\text{.}\) On s’intéresse au travail effectué par le champ \(\vF = \vnabla f\) lors de deux déplacements entre \(P_0\) et \(P_1\text{,}\) mais selon deux trajectoires différentes. La loi de conservation de l’énergie nous dit que le travail effectué dépend seulement des points initial et final, pas de la trajectoire suivie. En termes d’intégrales de ligne, nous avons le résultat suivant, souvent appelé théorème fondamental pour les intégrales de ligne.

Démonstration.
En effet, soit \(\vr\) un paramétrage de \(\cC\) avec \(t_0\leqslant t\leqslant t_1\) tel que \(\vr(t_0)=P_0\) et \(\vr(t_1)=P_1\text{.}\) Alors, par définition,
\begin{align*} \int_{\cC} \vnabla f \cdot \dee{\vr} \amp = \int_{t_0}^{t_1} \vnabla f(\vr(t)) \cdot \vr'(t)\, \dee{t} =\int_{t_0}^{t_1} \diff{}{t} \left(f(\vr(t))\right)\, \dee{t} \\ \amp=\left. f(\vr(t))\right|_{t=t_0}^{t=t_1} = f(\vr(t_1)) - f(\vr(t_0)) = f(P_1) - f(P_0) \text{,} \end{align*}
où nous avons utilisé le théorème de dérivation des fonctions composées et le théorème fondamental du calcul intégral.
Remarquons que, dans le théorème 4.4.5, la valeur \(f(P_1)-f(P_0)\) dans \(\int_\cC\vF\cdot\dee{\vr}\) dépend seulement de \(P_0\) et \(P_1\text{,}\) pas du chemin choisi. Nous allons voir plus tard, dans le théorème 4.4.7, que ceci a lieu seulement pour les champs vectoriels conservatifs. Dans la section précédente, nous avons vu plusieurs exemples de champs vectoriels qui ne sont pas conservatifs. Les champs de l’ exemple 4.2.9 ainsi que celui de l’ exemple 4.2.10 donnent des intégrales dont la valeur dépend du chemin choisi, ils ne sont donc pas des champs conservatifs.
Ceci nous mène à la question suivante. Soit \(\vF\) un champ de vecteurs. Quand est-ce que, pour deux points fixes \(P_0\) et \(P_1\text{,}\) les intégrales
\begin{gather*} \int_{\cC}\vF\cdot\dee{\vr} = \int_{\cC'}\vF\cdot\dee{\vr} \end{gather*}
pour toutes les courbes (lisses par morceaux) \(\cC\text{,}\) \(\cC'\) qui vont de \(P_0\) vers \(P_1\text{?}\) Quand pouvons-nous faire fi de la trajectoire empruntée? Dans ce cas, nous dirons que « \(\int_{\cC}\vF\cdot\dee{\vr}\) est indépendante de la trajectoire » et nous écrirons
\begin{gather*} \int_{P_0}^{P_1}\vF\cdot\dee{\vr} = \int_{\cC}\vF\cdot\dee{\vr} \end{gather*}
pour tout chemin \(\cC\) de \(P_0\) à \(P_1\text{.}\) La suite de cette section est dévouée à la relation très étroite qui existe entre l’indépendance de la trajectoire et le fait qu’un champ soit conservatif ou pas. C’est ce que nous verrons au théorème 4.4.7.
Pour simplifier le problème, nous allons commencer par considérer des champs de vecteurs qui sont continus dans tout \(\R^2\) ou tout \(\R^3\text{.}\)
Pour commencer, nous montrons que, s’il existe une paire de points (pas nécessairement distincts!) \(P_0\text{,}\) \(P_1\) tels que
\begin{gather*} \int_{\cC_1}\vF\cdot\dee{\vr} = \int_{\cC_2}\vF\cdot\dee{\vr} \end{gather*}
pour toutes les courbes \(\cC_1\text{,}\) \(\cC_2\) allant de \(P_0\) vers \(P_1\text{,}\) alors ceci est aussi vrai pour n’importe quelle paire de points \(P_0'\text{,}\) \(P_1'\text{:}\)
\begin{gather*} \int_{\cC'_1}\vF\cdot\dee{\vr} = \int_{\cC'_2}\vF\cdot\dee{\vr} \end{gather*}
pour toutes les courbes \(\cC'_1\text{,}\) \(\cC'_2\) qui commencent à \(P'_0\) et qui terminent à \(P'_1\text{.}\) Ceci pourrait paraître invraisemblable à première vue, mais l’idée de la preuve est plutôt claire.

Démonstration.
Soit \(\cC'_1\) et \(\cC'_2\) deux courbes quelconques qui commencent à \(P'_0\) et qui finissent à \(P'_1\text{.}\)
On commence par choisir deux courbes auxiliaires :
  • \(\cC_\ell\) qui va de \(P_0\) à \(P'_0\) et
  • \(\cC_r\) qui va de \(P'_1\) à \(P_1\text{.}\)
Puis, on définit les courbes :
  • \(\cC_1\) comme étant \(\cC_\ell\) suivie de \(\cC'_1\) puis suivie de \(\cC_r\text{,}\) et
  • \(\cC_2\) comme étant \(\cC_\ell\) suivie de \(\cC'_2\) puis suivie de \(\cC_r\text{.}\)
Alors, \(\cC_1\) et \(\cC_2\) commencent à \(P_0\) et finissent à \(P_1\text{,}\) de sorte que, par hypothèse,
\begin{gather*} \int_{\cC_1}\vF\cdot\dee{\vr} = \int_{\cC_2}\vF\cdot\dee{\vr} \end{gather*}
et, en vertu de la construction de \(\cC_1\) et \(\cC_2\text{,}\)
\begin{align*} &\int_{\cC_\ell}\vF\cdot\dee{\vr} +\int_{\cC'_1}\vF\cdot\dee{\vr} +\int_{\cC_r}\vF\cdot\dee{\vr}= \int_{\cC_\ell}\vF\cdot\dee{\vr} +\int_{\cC'_2}\vF\cdot\dee{\vr} +\int_{\cC_r}\vF\cdot\dee{\vr}\\ \implies & \int_{\cC'_1}\vF\cdot\dee{\vr}= \int_{\cC'_2}\vF\cdot\dee{\vr}\text{,} \end{align*}
comme on le voulait.
Nous pouvons maintenant énoncer le résultat principal de cette section.

Démonstration.
Il suffit de montrer que
  • (a) entraîne (b),
  • (b) entraîne (c),
  • (c) entraîne (a).
(a) \(\implies\) (b) : Soit \(\cC\) une courbe fermée qui commence et se termine à \(P_0\text{.}\) Alors, en vertu du théorème 4.4.5 avec \(P_1 = P_0\text{,}\)
\begin{gather*} \oint_\cC\vF\cdot\dee{\vr} = f(P_0) - f(P_0) = 0\text{.} \end{gather*}
(b) \(\implies\) (c) : Choisissons \(P_0\) un point quelconque, et soit \(P_1=P_0\text{.}\) Nous supposons donc que \(\oint_\cC\vF\cdot\dee{\vr}=0\) pour toutes les courbes qui commencent à \(P_0\) et qui finissent à \(P_1\text{.}\) En particulier, \(\int_\cC\vF\cdot\dee{\vr}\) prend la même valeur sur toutes les courbes qui commencent à \(P_0\) et qui se terminent à \(P_1\text{.}\) Ainsi, le théorème 4.4.6 donne immédiatement la propriété (c).
(c) \(\implies\) (a) : Nous voulons montrer que \(\vF\) est conservatif. Nous commençons par exhiber un candidat pour la fonction potentielle, \(f\text{,}\) et nous montrerons que nous avons effectivement \(\vF=\vnabla f \text{.}\) Notre choix de candidat \(f\) est motivé par le théorème 4.4.5. Si \(\vF\) est vraiment conservatif, son potentiel devra vérifier \(\int_\cC\vF\cdot\dee{\vr} = f(P_1) - f(P_0)\) pour toute courbe \(\cC\) qui démarre à \(P_0\) et qui finit à \(P_1\text{.}\) Choisissons \(P_0 = \vZero\text{.}\) Il est immédiat, de la définition 4.4.1, que l’ajout d’une constante à un potentiel donne toujours un potentiel. On peut donc choisir \(f(\vZero) = 0\text{.}\) Alors, \(f(P_1) = \int_\cC\vF\cdot\dee{\vr}\) pour toute courbe \(\cC\) de \(\vZero\) à \(P_1\text{.}\) Ainsi, on définit, pour tout \(\vx\text{,}\) \(f(\vx) = \int_\cC\vF\cdot\dee{\vr}\) pour toute courbe \(\cC\) de \(\vZero\) à \(\vx\text{.}\) Cette définition est correcte, puisque l’hypothèse (c) nous dit exactement que la valeur de l’intégrale est indépendante de la trajectoire.
Vérifions à présent que \(f\) vérifie effectivement \(\vF=\vnabla f\text{.}\) Choisissons un point arbitraire et une courbe \(\cC_{\vx}\) allant de l’origine à \(\vx\text{.}\) Pour n’importe quel vecteur unitaire \(\vu\text{,}\) soit \(\cD_{\vu}\) la courbe paramétrée par
\begin{gather*} \vr_{\vu}(t)=\vx+t\vu\qquad 0\leqslant t\leqslant 1\text{.} \end{gather*}
Il s’agit d’un segment de droite qui quitte \(\vx\) à \(t=0\) et qui finit à \(\vx+\vu\) lorsque \(t=1\text{.}\) Remarquons que \({\vr\,}'_{\vu}(t)=\vu\text{.}\) Par ailleurs, par hypothèse, nous avons \(f(\vx+s\vu)=\int_\cC\vF\cdot\dee{\vr}\) pour toute courbe \(\cC\) qui va de \(\vZero\) à \(\vx+s\vu\text{.}\) Ainsi, pour tout réel \(s\text{,}\) nous avons
\begin{gather*} f(\vx+s\vu) = \int_{\cC_{\vx}+\cD_{s\vu}}\vF\cdot d\vr\text{,} \end{gather*}
où la notation \(C_{\vx}+D_{s\vu}\) désigne la courbe qui suit \(C_{\vx}\) de l’origine à \(\vx\text{,}\) puis qui suit \(D_{s\vu}\) de \(\vx\) à \(\vx+s\vu\text{.}\) Nous avons
\begin{align*} \int_{C_{\vx}+D_{s\vu}}\vF\cdot d\vr &=\int_{C_{\vx}}\vF\cdot d\vr +\int_{D_{s\vu}}\vF\cdot d\vr\\ &=\int_{C_{\vx}}\vF\cdot d\vr +\int_0^1 \vF(\vx+ts\vu)\cdot (s\vu)\,dt\text{.} \end{align*}
Dans la seconde intégrale, nous faisons le changement de variables \(\tau=ts\text{,}\) \(\dee{\tau}=s\dee{t}\text{.}\) Ceci donne
\begin{gather*} f(\vx+s\vu)=\int_{C_{\vx}}\vF\cdot d\vr +\int_0^s \vF(\vx+\tau\vu)\cdot \vu\,d\tau\text{.} \end{gather*}
Le théorème fondamental du calcul, appliqué à la seconde intégrale, donne
\begin{gather*} \diff{\ }{s}f(\vx+s\vu)\Big|_{s=0} =\vF(\vx+s\vu)\cdot \vu\Big|_{s=0}=\vF(\vx)\cdot \vu\text{.} \end{gather*}
On applique ceci avec les vecteurs \(\vu=\vi ,\ \vj,\ \vk\text{,}\) ce qui donne
\begin{gather*} \Big(\frac{\partial f}{\partial x}(\vx),\, \frac{\partial f}{\partial y}(\vx),\, \frac{\partial f}{\partial z}(\vx)\Big) =\left(\vF(\vx)\cdot\vi,\,\vF(\vx)\cdot\vj,\,\vF(\vx)\cdot\vk\right)\text{,} \end{gather*}
c’est-à-dire
\begin{gather*} \vnabla f (\vx)=\vF(\vx), \end{gather*}
comme on le voulait.
Le théorème 4.4.5 fournit une méthode pour calculer une intégrale de ligne lorsque le champ est conservatif : il suffit d’évaluer la fonction potentielle aux extrémités du chemin.

Exemple 4.4.8.

Vérifier que \(f(x,y) = \frac{1}{2}(x^2- y^2)\) est une fonction potentiel pour \(\vF(x,y) = x\,\vi - y\, \vj\) et déduire la valeur de l’intégrale \(\int_{\cC} \vF \cdot d\vr\text{,}\) où \(\cC\) est une courbe lisse allant de \((1,0)\) à \((0,1)\text{.}\)
Solution.
En effet, un calcul direct donne
\begin{gather*} \vnabla f(x,y) = f_x(x,y)\, \vi + f_y(x,y)\,\vj = x\,\vi -y\, \vj = \vF(x,y). \end{gather*}
En vertu du théorème 4.4.5, nous n’avons même pas besoin de connaître la trajectoire \(\cC\) pour calculer
\begin{gather*} \int_{\cC} \vF \cdot d \vr = \int_{\cC} \vnabla f \cdot d\vr = f(0,1) - f(1,0) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1. \end{gather*}
Nous avons vu au théorème 4.3.6 que les champs gradients (donc conservatifs) sont irrotationnels. Il est temps d’étudier une réciproque partielle de ce résultat.

Démonstration.
Nous donnons la preuve pour les champs définis sur \(\R^2\text{.}\) La preuve pour \(\R^3\) est similaire.
Le théorème de Clairaut permet, comme à l’ exemple 4.1.11, de montrer que si \(\vF = \vnabla f\text{,}\) alors on a \(\vnabla \times \vF = \vZero\text{.}\)
Supposons donc que \(\vF\) vérifie \(\frac{\partial P}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)\) sur tout le plan \(\R^2\) et montrons que le champ est conservatif. Nous le ferons en utilisant la stratégie de notre exemple 4.1.11 pour construire une fonction potentielle \(f\text{,}\) c’est-à-dire \(f\) vérifiant
\begin{align*} \begin{split} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &= P(x,y), \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &= Q(x,y). \end{split} \end{align*}
La dérivée partielle \(\frac{\partial \ }{\partial x}\) traite \(y\) comme une constante, de sorte que \(f(x,y)\) vérifie la première équation si et seulement s’il existe une fonction \(\psi(y)\) telle que
\begin{gather*} f(x,y) =\int_0^x P(X,y)\,\dee{X} \ +\ \psi(y)\text{.} \end{gather*}
Cette fonction \(f(x,y)\) satisfait aussi la seconde équation si et seulement si
\begin{align*} Q(x,y)&= \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\\ &=\frac{\partial \ }{\partial y}\Big(\int_0^x P(X,y)\,\dee{X}\ +\ \psi(y)\Big)\\ &=\int_0^x \frac{\partial P}{\partial y}(X,y)\,\dee{X}\ +\ \psi'(y)\text{.} \end{align*}
Ainsi, nous devons trouver une fonction \(\psi(y)\) vérifiant
\begin{gather*} \psi'(y) = Q(x,y) - \int_0^x \frac{\partial P}{\partial y}(X,y)\,\dee{X}. \end{gather*}
Ça ne s’annonce pas bien : peu importe ce que \(\psi(y)\) est, le terme de gauche est indépendant de \(x\text{,}\) tandis qu’il semblerait que le terme de droite dépende de \(x\text{.}\) Heureusement, nous pouvons utiliser l’hypothèse fournie par le test de dépistage:
\begin{align*} Q(x,y) - \int_0^x \frac{\partial P}{\partial y}(X,y)\,\dee{X} &=Q(x,y) - \int_0^x \frac{\partial Q}{\partial x}(X,y)\,\dee{X}\\ &= Q(x,y) - Q(X,y)\Big|_{X=0}^{X=x}\\ &=Q(0,y) \end{align*}
En passant de la première ligne à la deuxième, nous avons utilisé le théorème fondamental du calcul. Ainsi, on peut choisir
\begin{gather*} \psi(y) = \int_0^y Q(0,Y)\,\dee{Y} +C \end{gather*}
pour n’importe quelle constante \(C\text{,}\) et le tour sera joué.

Exemple 4.4.10.

Calculer l’intégrale \(\displaystyle \int_{\cC}\sin y \,\dee{x} + \left(x\cos y - \sin y\right)\, \dee{y}\text{,}\) où \(\cC\) est le chemin de \((1,0)\) à \((0,1)\) suivant la portion du cercle \(x^2 + y^2 = 1\) du premier quadrant.
Solution.
Posons \(P(x,y) = \sin y\) et \(Q(x,y) = x\cos y - \sin y\text{.}\)
Si le champ \(\vF\) était conservatif, nous devrions avoir une fonction \(f\) telle que \(\vF = \vnabla f\text{,}\) de sorte que notre champ serait un champ gradient et donc (la composante \(\vk\) de) son rotationnel devrait être \(\vZero\text{.}\)
On calcule directement
\begin{gather*} (\vnabla \times \vF) \cdot \vk = \pdiff{Q}{x} - \pdiff{P}{y} = \cos y - \cos y =0. \end{gather*}
À ce stade-ci, nous savons que notre champ \(\vF\) passe le test de dépistage pour les champs conservatifs. Afin de calculer l’intégrale de ligne qui nous intéresse, il nous faut plus que ça : nous devons connaître une fonction potentiel. On cherche donc une fonction \(f\) vérifiant
\begin{gather*} f_x(x,y) = P(x,y) = \sin y \qquad \text{ et } \qquad f_y(x,y) = Q(x,y) = x\cos y - \sin y. \end{gather*}
En intégrant la première de ces égalités par rapport à \(x\text{,}\) on obtient
\begin{gather*} f(x,y) = \int f_x(x,y)\, \dee{x} = \int \sin y\, \dee{y} = x\sin y + \phi(y). \end{gather*}
En effet, il faut noter que, lorsqu’on intègre par rapport à \(x\text{,}\) il faut ajouter la « constante d’intégration ». Ici, « constante » veut dire « constante par rapport à \(x\) », il peut donc s’agir d’une fonction de la variable \(y\text{.}\)
Par ailleurs, on a aussi
\begin{gather*} Q(x,y) = f_y(x,y) = \pdiff{}{y} \left(x\sin y + \phi(y)\right)\text{,} \end{gather*}
ce qui donne directement \(x\cos y -\sin y = x\cos y + \pdiff{\phi}{y} \text{,}\) d’où
\begin{gather*} \pdiff{\phi}{y} = -\sin y\text{.} \end{gather*}
Il suffit alors de choisir \(\phi(y) = \cos y + K\text{,}\) ce qui mène à
\begin{gather*} f(x,y) = x\sin y + \cos y + K\text{.} \end{gather*}
La valeur de l’intégrale de ligne est donc
\begin{gather*} \int_{\cC} P\dee{x} + Q\dee{y} = \int_{\cC} \vnabla f \cdot \dee{\vr} = f(0,1)-f(1,0) = \cos 1 - 1\text{.} \end{gather*}
Remarquons que le calcul de l’intégrale de ligne selon la définition aurait mené, avec le paramétrage usuel du cercle, \(\vr(t) = \cos t\, \vi + \sin t\, \vj\) avec \(t\in [0,\pi/2]\text{,}\) à l’intégrale
\begin{align*} \int_{\cC} P\, \dee{x} + Q\, \dee{y} \amp= \int_\cC \sin y\, \dee{x} + \left(x\cos y - \sin y\right)\, \dee{y} \\ \amp = \int_0^{\pi/2} \sin y(t)\ x'(t) + \left[x(t)\cos(y(t) - \sin y(t)\right] y'(t)\, \dee{t} \\ \amp= \int_0^{\pi/2} \sin(\sin t)(-\sin(t)) \\ \amp \qquad + \left[ (\cos t) \cos(\sin(t) - \sin(\sin t) \right] \cos t\, \dee{t} \text{,} \end{align*}
qui n’est pas particulièrement invitante.
Dans cet exemple, on aurait pu commencer en intégrant par rapport à \(y\text{,}\) c’est-à-dire en partant de
\begin{gather*} f_y(x,y) = x\cos y - \sin y, \end{gather*}
pour obtenir
\begin{gather*} f(x,y) = \int x\cos y - \sin y\ \dee{y} = x\sin y + \cos y + \psi(x). \end{gather*}
Le résultat aurait été le même.

Exemple 4.4.11.

Calculer la valeur de l’intégrale
\begin{gather*} I = \int_{\cC} (2xy-z^2)\, dx + (x^2 + 2z)\, dy + (2y-2xz)\, dz, \end{gather*}
où \(\cC\) est une courbe lisse allant de \((0,1,1)\) à \((2,2,4)\text{.}\)
Solution.
Posons pour commencer \(\vF = P \, \vi + Q \, \vj + R \, \vk = (2xy-z^2) \, \vi + (x^2 + 2z) \, \vj + (2y-2xz) \, \vk\) et remarquons que toutes les composantes de notre champ sont continues sur tout \(\R^3\text{.}\)
On calcule alors
\begin{align*} \vnabla \times \vF = \left|\begin{matrix} \vi & \pdiff{}{x} & P \\ \vj & \pdiff{}{y} & Q \\ \vk & \pdiff{}{z}& R \end{matrix}\right| \amp=(R_y-Q_z)\vi + (P_z - R_x)\vj + (Q_x - P_y)\vk\\ \amp=(2-2)\vi + (-2z--2z)\vj + (2x - 2x)\vk = \vZero \text{.} \end{align*}
Ceci montre que le champ est conservatif. Trouvons maintenant une fonction potentielle \(f\text{.}\) Une telle fonction doit vérifier \(f_x = P = 2xy - z^2\text{.}\)
Nous intégrons par rapport à la variable \(x\) pour obtenir
\begin{gather*} f= \int f_x \, dx = \int 2xy-z^2 \, dx = yx^2 -xz^2 + \phi(y,z). \end{gather*}
où \(\phi\) est la constante d’intégration. Mais c’est une constante par rapport à \(x\text{,}\) il s’agit donc d’une quantité qui peut varier en fonction de \(y\) et \(z\text{.}\) Afin de la trouver, on dérive par rapport à \(y\text{:}\)
\begin{gather*} x^2 + 2z = Q = f_y = x^2 + \phi_y(y,z), \end{gather*}
ce qui donne directement \(2z = \phi_y\text{.}\) Après intégration par rapport à \(y\text{,}\) nous trouvons
\begin{gather*} \phi(y,z) = \int \phi_y(y,z)\, dy = \int 2z\, dy = 2yz + \psi(z), \end{gather*}
où \(\psi\) est une fonction de la variable \(z\) seulement.
À ce stade-ci, nous pouvons donc écrire
\begin{gather*} f(x,y,z) = yx^2 - xz^2 +2yz+\psi(z). \end{gather*}
Afin de trouver \(\psi\text{,}\) dérivons par rapport à \(z\text{,}\) ce qui donne
\begin{gather*} 2y-2xz = R = f_z = -2xz + 2y + \psi'(z), \end{gather*}
et nous concluons que \(\psi'(z) =0\text{,}\) d’où \(\psi(z) = K\text{.}\) Ainsi, toute fonction de la forme
\begin{gather*} f(x,y,z) = yx^2 -xz^2 +2yz + K \text{ avec } K \in \R \end{gather*}
est une fonction potentiel pour \(\vF\text{.}\)
L’intégrale de ligne qui nous intéresse est alors
\begin{gather*} I = \int_{\cC} \vnabla f\cdot d\vr = f(2,2,4) - f(0,1,1) = -8 - 2 = -10. \end{gather*}

À vous de jouer 4.4.12.

Pour chacun des champs de vecteurs F suivants, déterminez s’il est conservatif ou non en calculant les dérivées partielles du premier ordre appropriées. Donnez une fonction potentielle \(f\) (c’est-à-dire \(\nabla f = \mathbf{F}\)) telle que \(f(0,0) = 0\text{.}\) S’il n’est pas conservatif, écrivez N.
A. \(\mathbf{F} \left( x, y \right) = \left( -6 x - 8 y \right) \mathbf{i} + \left( -8 x+ 2 y\right) \mathbf{j}\)
\(f \left( x, y \right) =\)
B. \(\mathbf{F} \left( x, y \right) = -3 y \mathbf{i} - 2 x \mathbf{j}\)
\(f \left( x, y \right) =\)
C. \(\mathbf{F} \left( x, y \right) = \left( -3 \sin y \right) \mathbf{i} + \left( -16 y - 3 x \cos y \right) \mathbf{j}\)
\(f \left( x, y \right) =\)
Note : vos réponses doivent être des expressions en \(x\) et \(y\) (par exemple « 3xy + 2y »), ou la lettre « N ».
Réponse 1.
\(y^{2}-\left(3x^{2}+8xy\right)\)
Réponse 2.
\(\text{N}\)
Réponse 3.
\(-\left(3x\sin\mathopen{}\left(y\right)+8y^{2}\right)\)

À vous de jouer 4.4.13.

Lorsque l’intégrale \(\displaystyle \int_{\mathcal{C}} f\, dx + g\, dy\) est indépendante de la trajectoire, et \(\mathcal{C}\) est une courbe allant d’un point \(A\) à un point \(B\text{,}\) il est commun d’écrire \(\displaystyle \int_A^B f\, dx + g\, dy\) pour \(\displaystyle \int_{\mathcal{C}} f\, dx + g\, dy\text{.}\)
Montrez que \(\displaystyle \int_{\left(-2,4\right)}^{\left(3,6\right)}fdx+gdy = \int_{\left(-2,4\right)}^{\left(3,6\right)}36x^{3}y^{2}dx+18yx^{4}dy\) est indépendante de la trajectoire.
\(\frac {\partial f}{\partial y}\) =
\(\frac {\partial g}{\partial x}\) =
\(\displaystyle \int_{\left(-2,4\right)}^{\left(3,6\right)}36x^{3}y^{2}dx+18yx^{4}dy\) =
Réponse 1.
\(36x^{3}\cdot 2y\)
Réponse 2.
\(18y\cdot 4x^{3}\)
Réponse 3.
\(26244-2304\)

Mise en garde 4.4.14.

Il faut noter que, dans le théorème 4.4.9, l’hypothèse de base est que \(\vF\) passe le « test de dépistage » sur tout \(\R^2\) ou sur tout \(\R^3\text{.}\) L’exemple suivant, un grand classique, montre que si le champ n’est pas continu en ne serait-ce qu’un point, les conclusions ne tiennent plus.

Exemple 4.4.15. Un champ irrotationnel mais non conservatif.

Soit le champ de vecteurs défini, pour \((x,y)\ne(0,0)\) par
\begin{gather*} \vF(x,y) = -\frac{y}{x^2+y^2}\vi + \frac{x}{x^2+y^2}\vj\text{.} \end{gather*}
Le champ est représenté dans la figure ci-contre.
described in detail following the image
Un champ irrotationnel non conservatif
Figure 4.4.16. Un champ irrotationnel non conservatif.
  1. Montrer que \(\vF\) est irrotationnel.
  2. Calculer les intégrales de ligne \(\displaystyle \int_{\cC_1}\vF \cdot \dee{\vr}\) et \(\displaystyle \int_{\cC_2}\vF \cdot \dee{\vr}\text{,}\) où \(\cC_1\) et \(\cC_2\) sont respectivement les trajectoires de \((1,0)\) à \((-1,0)\) suivant les moitiés supérieure et inférieure du cercle \(x^2 + y^2 = 1\text{.}\)
  3. Construire une fonction potentielle pour \(\vF\) et identifier pourquoi on ne peut l’utiliser pour calculer les intégrales de ligne de la partie (b).
Solution.
  1. Posons \(\vF = P\, \vi + Q\, \vj\text{,}\) où \(P(x,y) = \frac{-y}{x^2 + y^2}\) et où \(Q(x,y) = \frac{x}{x^2 + y^2}\text{.}\) Calculons le rotationnel de \(\vF\text{:}\)
    \begin{alignat*}{1} \pdiff{P}{y}&=\frac{\partial\ }{\partial y}\Big(-\frac{y}{x^2+y^2}\Big) =\frac{(x^2+y^2) - y(2y)}{{(x^2+y^2)}^2} = \frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2},\\ \pdiff{Q}{x} & =\frac{\partial\ }{\partial x}\Big(\frac{x}{x^2+y^2}\Big) =\phantom{-} \frac{(x^2+y^2) - x(2x)}{{(x^2+y^2)}^2} = \frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}. \end{alignat*}
    On a donc l’égalité \(\pdiff{Q}{x} - \pdiff{P}{y} = 0\text{.}\)
  2. Notons d’abord que la figure de l’énoncé nous laisse présager que l’intégrale suivant \(\cC_1\) sera positive, tandis que celle suivant \(\cC_2\) sera négative, de par la façon dont le champ de vecteurs est orienté : il a tendance à tourner toujours dans le sens antihoraire.
    Nous présentons les calculs détaillés pour l’intégrale le long de \(\cC_1\text{.}\)
    • La courbe \(\cC_1\) est paramétrée par \(\vr(t) = x(t)\, \vi + y(t)\, \vj = (\cos t)\, \vi + (\sin t) \, \vj\text{,}\) avec \(t\in [0, \pi].\) Nous calculons alors
      \begin{align*} \vr'(t) \amp= x'(t)\, \vi + y'(t)\, \vj = -\sin t \, \vi + \cos t \, \vj = -y(t)\,\vi + x(t)\, \vj \\ \vF(\vr(t))\amp = \frac{-y(t)}{x(t)^2 + y(t)^2}\vi + \frac{x(t)}{x(t)^2 + y(t)^2}\vj = -y(t)\, \vi + x(t)\, \vj,\text{,} \end{align*}
      où nous avons utilisé que \(x(t)^2 + y(t)^2 =1\text{.}\) Par la suite, afin d’alléger l’écriture, écrivons \(x\) et \(y\) à la place de \(x(t)\) et \(y(t)\text{.}\) Ainsi, sur \(\cC_1\text{,}\) nous avons
      \begin{align*} \vF(\vr(t))\cdot \vr'(t)\amp= (-y\,\vi + x\, \vj )\cdot(-y\,\vi + x\, \vj ) = y^2 + x^2 = 1 \text{,} \end{align*}
      de sorte que \(\displaystyle \int_{\cC_1} \vF \cdot \dee{\vr} = \int_0^\pi \dee{t} = \pi\text{.}\)
    • La courbe \(\cC_2\text{,}\) pour sa part, est paramétrée par \(\vr(t) = x(t)\, \vi + y(t)\, \vj = (\cos t)\, \vi - (\sin t) \, \vj\text{,}\) avec \(t\in [0, \pi]\text{.}\) Cette fois, nous avons \(y(t) = -\sin t\text{.}\) Un calcul en tout point semblable à celui fait pour \(\cC_1\) mène à \(\vF(\vr(t)) \cdot \vr'(t) = -1\text{,}\) de sorte que \(\displaystyle \int_{\cC_2} \vF \cdot \dee{\vr} = -\int_0^\pi \dee{t} = -\pi\text{.}\)
  3. Pour que \(\vF\) soit conservatif sur \(\R^2\setminus\{(0,0)\}\text{,}\) il doit y exister une fonction \(f(x,y)\) telle que \(f\) ainsi que ses dérivées partielles \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\) sont définies pour tout \((x,y)\) dans \(\R^2\text{,}\) sauf à \((x,y)=(0,0)\text{,}\) et vérifiant de plus
    \begin{alignat*}{3} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &= -\frac{y}{x^2+y^2} &&= \frac{-\frac{y}{x^2}}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2} &&=\frac{\partial\ }{\partial x}\Big(\arctan\frac{y}{x}\Big),\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &= \phantom{-} \frac{x}{x^2+y^2} &&= \frac{\frac{1}{x}}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2} &&=\frac{\partial\ }{\partial y}\Big(\arctan\frac{y}{x}\Big), \end{alignat*}
    en vertu de la règle de dérivation des fonctions composées, puisque
    \begin{gather*} \frac{\partial\ }{\partial x}\Big(\frac{y}{x}\Big) =-\frac{y}{x^2}, \qquad \frac{\partial\ }{\partial y}\Big(\frac{y}{x}\Big)=\frac{1}{x}\text{.} \end{gather*}
    Il semblerait que nous ayons trouvé une fonction potentielle pour \(\vF\text{,}\) à savoir \(\arctan\frac{y}{x}\text{.}\) Mais il y a un problème. Rappelons que, par définition, \(\arctan\frac{y}{x}\) est un angle \(\theta(x,y)\) qui vérifie \(\tan\theta(x,y)= \arctan\frac{y}{x}\text{.}\) Mais, pour tout \((x,y)\in\R^2\setminus\{(0,0)\}\text{,}\) il y a une infinité de tels angles. Pour définir \(f(x,y)\text{,}\) nous devons choisir un tel angle, et ce, de façon continue. C’est précisément la continuité dans \(\R^2\setminus\{(0,0)\}\) qui pose problème.
    Pour le voir, fixons un \(r \gt 0\) et imaginons que nous nous promenons sur le cercle \(x^2+y^2=r^2\text{.}\) Au temps \(\theta\text{,}\) nous sommes au point \(x=r\cos\theta\text{,}\) \(y=r\sin\theta\) puis \(\frac{y}{x} = \tan\theta\text{,}\) et nous pouvons définir \(f(x,y)=\theta+k\pi\) pour n’importe quelle valeur entière de \(k\text{.}\)
    Supposons que, au temps \(\theta=0\text{,}\) nous choisissons \(k=0\text{,}\) c’est-à-dire que nous posons \(f(r,0) = 0\text{.}\) Nous commençons à nous déplacer, choisissant à chaque fois une valeur permise de \(f(x,y)\text{,}\) c’est-à-dire en choisissant une valeur de \(k\) pour chaque point \((x,y)\) que nous parcourons. Puisque \(f(x,y)\) doit changer de façon continue par rapport à \((x,y)\text{,}\) nous devons choisir \(k=0\text{.}\) Mais nous rencontrerons un problème lorsque \(\theta\) approchera \(2\pi\text{,}\) car alors :
    • nous nous approchons \((r,0)\) par en bas comme dans la figure ci-contre, et
    • puisque nous choisissons \(k=0\text{,}\) \(f(x,y)\) doit être tout juste un peu moins que \(2\pi\text{,}\) mais
    • nous avons déjà choisi \(f(r,0)=0\text{,}\) pas \(f(r,0) = 2\pi\text{.}\) Ainsi, \(f(x,y)\) a une discontinuité le long de l’axe \(Ox\) positif.

Exercices Exercices

Pour se pratiquer.

1.

Pour chacun des champs suivants, déterminer laquelle des affirmations suivantes s’applique :
  1. Le test de dépistage pour les champs vectoriels conservatifs nous dit que \(\vF\) est conservatif.
  2. Le test de dépistage pour les champs vectoriels conservatifs nous dit que \(\vF\) n’est pas conservatif
  3. Le test de dépistage pour les champs vectoriels conservatifs ne nous dit pas si \(\vF\) est conservatif ou non.
(Le test de dépistage est le théorème 4.4.9.)
  1. \(\displaystyle \vF=x\vi + z\vj + y\vk\)
  2. \(\displaystyle \vF=y^2z\vi + x^2z\vj + x^2y\vk\)
  3. \(\displaystyle \vF=(ye^{xy}+1)\vi + (xe^{xy}+z)\vj + \left( \frac1z+y\right)\vk\)
  4. \(\displaystyle \vF=y\cos(xy)\vi + x\sin(xy)\vj \)
Réponse.
  1. C.
  2. B.
  3. C.
  4. B.

2. Évaluation d’intégrales de ligne.

Évaluer les intégrales \(\int_{\cC} \vnabla f \cdot d\vr\) de deux façons :
  1. Avec un paramétrage de \(\cC\) et l’évaluation directe de l’intégrale de ligne;
  2. Au moyen du théorème fondamental pour les intégrales de ligne.
Faire ceci pour les fonctions et courbes suivantes.
  1. \(f (x,y) = xy\text{;}\) \(\cC : \vr (t) = (\cos t, \sin t)\) pour \(0 \leqslant t \leqslant \pi\text{.}\)
  2. \(f (x,y) = \frac{x^2 + y^2}{2}\text{;}\) \(\cC : \vr (t) = (\sin t, \cos t)\) pour \(0 \leqslant t \leqslant \pi\text{.}\)
  3. \(f (x,y) = x + 3y\text{;}\) \(\cC : \vr (t) = (2 - t, t)\) pour \(0 \leqslant t \leqslant 2\text{.}\)
  4. \(f (x,y,z) = x + y + z\text{;}\) \(\cC : \vr (t) = (\sin t, \cos t, t/\pi)\) pour \(0 \leqslant t \leqslant \pi\text{.}\)
  5. \(f (x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2)/2\text{;}\) \(\cC : \vr (t) = (\cos t, \sin t, t/\pi)\) pour \(0 \leqslant t \leqslant 2\pi\text{.}\)
  6. \(f (x,y,z) = xy + xz + yz\text{;}\) \(\cC : \vr (t) = (t, 2t, 3t)\) pour \(0 \leqslant t \leqslant 4\text{.}\)
Réponse.
  1. \(\displaystyle 0\)
  2. \(\displaystyle 0\)
  3. \(\displaystyle 4\)
  4. \(\displaystyle -1\)
  5. \(\displaystyle 2\)
  6. \(\displaystyle 176\)

3.

Supposer que \(\vF\) est conservatif et soit \(a\text{,}\) \(b\) et \(c\) des constantes. Trouver un potentiel pour \(\vF+(a,b,c)\text{,}\) OU donner un champ conservatif \(\vF\) et des constantes \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) et \(c\) pour lesquelles \(\vF+(a,b,c)\) n’est pas conservatif.
Réponse.
Soit \(\varphi\) un potentiel pour \(\vF\text{.}\) Définir \(\phi=\varphi+ax+by+cz\text{.}\) Alors, \(\vnabla \phi = \vnabla\varphi+(a,b,c)=\vF+(a,b,c)\text{.}\)

4.

Montrer que chacune des intégrales de ligne suivantes est indépendante de la tajectoire, puis donner la valeur de l’intégrale
  1. \(\displaystyle \int_{\cC} 2x\, dx + 2y\, dy + 2z\, dz\) où \(\cC\) est une courbe allant de \((0,0,0)\) à \((2,-3,6)\text{.}\)
  2. \(\displaystyle \int_{\cC} yz\, dx + xz\, dy + xy\, dz\) où \(\cC\) est une courbe allant de \((1,2,3)\) à \((3,5,0)\text{.}\)
  3. \(\displaystyle\int_{\cC} 2x\, dx + 2y\, dy + 2z\, dz\) où \(\cC\) est une courbe allant de \((0,0,0)\) à \((2,-3,6)\text{.}\)
  4. \(\displaystyle\int_{\cC} 2xy\, dx + (x^2 - z^2)\, dy + -2yz\, dz\) où \(\cC\) est une courbe allant de \((0,0,0)\) à \((1,2,3)\text{.}\)
  5. \(\displaystyle\int_{\cC} 2x\, dx -y^2\, dy - \frac{4}{1+z^2}\, dz\) où \(\cC\) est une courbe allant de \((0,0,0)\) à \((0,0,1)\text{.}\)
  6. \(\displaystyle\int_{\cC} \sin x \cos y \, dx + \cos x \sin y\, dy + dz\) où \(\cC\) est une courbe allant de \((1,0,0)\) à \((0,1,1)\text{.}\)
Réponse.
  1. \(\displaystyle 49\)
  2. \(\displaystyle -6\)
  3. \(\displaystyle -16\)
  4. \(\displaystyle -\pi\)
  5. \(\displaystyle 1\)

5.

Prouver (ou trouver un contre-exemple pour) chacun des énoncés suivants.
  1. Si \(\vF\) est un champ conservatif et \(\vG\) est un champ non conservatif, alors \(\vF+\vG\) est non conservatif.
  2. Si \(\vF\) et \(\vG\) sont des champs non conservatifs, alors \(\vF+\vG\) est non conservatif.
  3. Si \(\vF\) et \(\vG\) sont des champs conservatifs, alors \(\vF+\vG\) est conservatif.
Réponse.
  1. Si \(\vF+\vG\) est conservatif pour tout \(\vF\) et \(\vG\text{,}\) alors, par définition, il existe un potentiel \(\varphi\) avec \(\vF+\vG = \vnabla \varphi\text{.}\)
    Comme \(\vF\) est conservatif, il existe également un potentiel \(\psi\) avec \(\vF = \vnabla \psi\text{.}\)
    Mais maintenant, \(\vG = (\vF+\vG)-\vF=\vnabla \varphi - \vnabla \psi = \vnabla(\varphi-\psi)\text{.}\) Ceci signifie que la fonction \((\varphi-\psi)\) est un potentiel pour \(G\text{.}\) Toutefois, ceci est impossible : comme \(\vG\) est non conservatif, aucune fonction avec cette propriété n’existe.
    Ainsi, il est impossible que \(\vF+\vG\) soit conservatif. Il doit alors être non conservatif.
  2. Contre-exemple : si \(\vF = -\vG\text{,}\) alors \(\vF+\vG = \mathbf 0 = \vnabla c\) pour toute constante \(c\text{.}\)
  3. Comme les deux champs sont conservatifs, ils ont tous deux un potentiel, disons \(\vF=\vnabla \varphi\) et \(\vG = \vnabla \psi\text{.}\) Alors, \(\vF+\vG = \vnabla\varphi+\vnabla\psi=\vnabla(\varphi+\psi)\text{,}\) c’est-à-dire que \((\varphi+\psi)\) est un potentiel pour \(\vF+\vG\text{,}\) donc \(\vF+\vG\) est conservatif.

6. L’allure des champs conservatifs.

Le champ vectoriel représenté dans la figure ci-contre est-il conservatif ou pas? Justifiez.
described in detail following the image
Un champ de vecteurs.
Réponse.
Non, il n’est pas conservatif.

Pour mieux comprendre.

7.

Soit \(D\) le domaine consistant en tous les \((x,y)\) vérifiant \(x \gt 1\text{,}\) et soit \(\vF\) le champ de vecteurs \(\vF = -\frac{y}{x^2+y^2}\,\vi + \frac{x}{x^2+y^2} \, \vj.\) Est-ce que \(\vF\) est conservatif sur \(D\text{?}\) Expliquer.
Réponse.
Oui, \(\vF\) est conservatif sur \(D\text{.}\) Un potentiel est \(\varphi(x,y) = \arcsin\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\text{.}\)

8.

Trouver un potentiel \(\varphi\) pour \(\vF(x,y)=(x+y)\vi+(x-y)\vj\text{,}\) ou prouver qu’il n’en existe pas.
Réponse.
\(\varphi=\frac{1}{2}x^2+xy-\frac{1}{2}y^2\)

9.

Trouver un potentiel \(\varphi\) pour \(\vF(x,y)=\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\vi+\left(\frac{x}{y^2}\right)\vj\text{,}\) ou montrer qu’il n’en existe pas.
Réponse.
\(\varphi=\ln |x| - \frac{x}{y}\)

10.

Trouver un potentiel \(\varphi\) pour \(\vF(x,y,z)=\left(x^2yz+xz\right)\vi+\left( \frac13x^3z+y \right)\vj+\left(\frac13x^3y+\frac12x^2+y\right)\vk\text{,}\) ou montrer qu’il n’en existe pas.
Réponse.
Il n’en existe pas : \(\pdiff{F_2}{z}=\frac13x^3\text{,}\) tandis que \(\pdiff{F_3}{y}=\frac{1}{3}x^3+1\text{,}\) donc \(\vF\) échoue au test de dépistage du théorème 4.4.9.

11.

Trouver un potentiel \(\varphi\) pour
\begin{gather*} \vF(x,y,z)=\left( \frac{x}{x^2+y^2+z^2}\right)\vi+\left( \frac{y}{x^2+y^2+z^2}\right)\vj+\left( \frac{z}{x^2+y^2+z^2}\right)\vk, \end{gather*}
ou montrer qu’il n’en existe pas.
Réponse.
\(\varphi = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2) + K\)

12.

Déterminer si les champs de vecteurs suivants sont conservatifs ou non. Trouver le potentiel le cas échéant.
  1. \(\displaystyle \vF(x,y,z)=x\vi-2y\vj+3z\vk\)
  2. \(\displaystyle \vF(x,y)=\frac{x\vi-y\vj}{x^2+y^2}\)
Réponse.
(a) \(\vF\) est conservatif avec le potentiel \(\phi(x,y,z)=\half x^2-y^2+\frac{3}{2}z^2+C\) pour toute constante \(C\text{.}\)
(b) \(\vF\) est non conservatif.

13.

Soit \(\vF= e^{(z^2)}\,\vi+2Byz^3\,\vj +\left(Axze^{(z^2)}+3By^2z^2\right)\,\vk\text{.}\)
  1. Pour quelles valeurs des constantes \(A\) et \(B\) est-ce que le champ de vecteurs \(\vF\) est conservatif sur \(\R^3\text{?}\)
  2. Si \(A\) et \(B\) prennent les valeurs trouvées en (a), trouver un potentiel pour \(\vF\text{.}\)
Réponse.
(a) \(A=2\text{,}\) \(B\) est arbitraire.
(b) \(\varphi(x,y,z)=xe^{(z^2)}+By^2 z^3+C\) pour toute constante \(C\text{.}\)

14.

Pour des fonctions différentiables à valeurs réelles \(f,g,h:\mathbb R \to \mathbb R\text{,}\) on définit
\begin{gather*} \vF=2f(x)f'(x)\vi+g'(y)h(z)\vj+g(y)h'(z)\vk. \end{gather*}
Vérifier que \(\vF\) est conservatif.
Réponse.
\(\varphi=f^2(x)+g(y)h(z)\) est un potentiel pour \(\vF\text{,}\) donc \(\vF\) est conservatif.

15. Une décomposition utile.

Soit le champ de vecteurs \(\vF(x,y) = \left(x+\cos{y^2}\right) \vi + \left( x-2xy\sin{y^2}\right)\vj\text{.}\) Décomposez le champ sous la forme \(\vF = \vG + \vH\) avec \(\vG\) conservatif, puis calculez la valeur de \(\displaystyle \int_{\cC} \vF\cdot d\vr\) où \(\cC\) est le segment de droite de \((0,0)\) à \((1,1)\text{.}\)
Réponse.
La valeur de l’intégrale est \(1+\cos(1)\text{.}\) Une décomposition possible est obtenue en posant \(\vG =\left(x+\cos{y^2}\right) \vi - (2xy\sin{y^2})\ \vj \) et \(\vH = x\vj\text{.}\)
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